Le Raisonnement par Récurrence

En mathématiques, ce principe permet de prouver qu'une propriété est vraie pour tous les nombres entiers. Comme pour les dominos, cela repose sur deux conditions.

D'abord, le premier domino doit tomber (l'initialisation). Ensuite, si un domino tombe, il doit obligatoirement faire tomber le suivant (l'hérédité).

Au Bac, la rédaction doit être rigoureuse. Une démonstration par récurrence suit toujours scrupuleusement ces trois étapes.

1. L'Initialisation : Vérifie que la propriété est vraie au tout premier rang demandé. C'est souvent $n=0$ ou $n=1$, mais l'énoncé peut parfois commencer plus loin.

2. L'Hérédité : C'est le cœur du raisonnement. Tu supposes que la propriété est vraie pour un entier $n$ fixé (hypothèse de récurrence) et tu démontres qu'elle est alors vraie au rang suivant $n+1$.

3. La Conclusion : Rappelle que la propriété est initialisée et héréditaire. Conclus alors qu'elle est vraie pour tout entier naturel $n$ (à partir du rang initial).

Initialisation : Pour $n=0$, on a $u(0)=2$. Comme $2>0$, la propriété est vraie au rang $0$.

Hérédité : Supposons que $u(n)>0$ pour un certain entier $n$. Montrons que $u(n+1)>0$.

D'après l'hypothèse, $u(n)>0$. En multipliant par 3, on a $3u(n)>0$. En ajoutant 1, on obtient $3u(n)+1>1$. Or, $u(n+1)=3u(n)+1$ et $1>0$, donc $u(n+1)>0$. L'hérédité est prouvée.

On utilise la récurrence pour les suites, mais aussi pour prouver des égalités de sommes, des divisibilités, ou des inégalités célèbres comme celle de Bernoulli.