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Trigonométrie : Cosinus, Sinus et Tangente

Dans un triangle rectangle décrit textuellement, l'élève doit choisir la bonne formule trigonométrique pour calculer une longueur ou un angle. Il manipule les notions de côté adjacent, côté opposé et hypoténuse.

Duree estimee : 20 min

1. Nommer les côtés du triangle

Pour faire de la trigonométrie, imagine que tu te tiens dans un des coins pointus d'un triangle rectangle. Ta position est très importante car elle change le nom des murs autour de toi. Avant de calculer, il faut savoir nommer les trois côtés par rapport à l'angle qui t'intéresse.

Schéma simple d'un triangle rectangle ABC rectangle en B. L'angle A est marqué par un arc rouge. Le côté AC est légendé 'Hypoténuse'. Le côté BC (en face de A) est légendé 'Côté Opposé'. Le côté AB (qui touche A) est légendé 'Côté Adjacent'. Fond blanc, traits noirs nets. — Observe ce schéma. L'hypoténuse est toujours face à l'angle droit. Le côté opposé est en face de ton angle. Le côté adjacent est celui qui touche ton angle (sans être l'hypoténuse).

L'hypoténuse est le plus grand côté. Le côté adjacent touche l'angle choisi. Le côté opposé est en face de l'angle choisi.

Attention : si tu changes d'angle aigu, les rôles s'inversent ! Le côté adjacent pour l'un devient le côté opposé pour l'autre. Seule l'hypoténuse ne change jamais de place.

2. Les formules magiques (SOH CAH TOA)

Dans un triangle rectangle, les rapports entre les longueurs des côtés ne dépendent que de la mesure de l'angle. Ces trois rapports s'appellent Cosinus, Sinus et Tangente.

Pour retenir les formules, utilise le moyen mnémotechnique : SOH-CAH-TOA. Cela te permet de retrouver quelle division faire selon les côtés que tu as.

Image pédagogique montrant trois bulles colorées. Bulle 1 texte : 'SOH' avec en dessous 'Sinus = Opposé / Hypoténuse'. Bulle 2 texte : 'CAH' avec en dessous 'Cosinus = Adjacent / Hypoténuse'. Bulle 3 texte : 'TOA' avec en dessous 'Tangente = Opposé / Adjacent'. Texte en français, lisible et gros. — Voici le décodage : S pour Sinus, C pour Cosinus, T pour Tangente. O pour Opposé, A pour Adjacent, H pour Hypoténuse.

Concrètement : $Sinus = \frac{Oppos e ˊ}{Hypot e ˊ nuse}$ . $Cosinus = \frac{Adjacent}{Hypot e ˊ nuse}$ . $Tangente = \frac{Oppos e ˊ}{Adjacent}$ .

3. Calculer une longueur

Si tu connais un angle et la longueur d'un côté, tu peux trouver un autre côté. La méthode : repère le côté connu et le côté cherché pour choisir la bonne formule (SOH, CAH ou TOA).

Exemple : L'angle A fait

3 0^{\circ}

et l'hypoténuse vaut 10 cm. On cherche le côté opposé. On a "H" et on cherche "O", donc on utilise SOH (Sinus). On écrit :

sin (3 0^{\circ}) = \frac{C o ˆ t e ˊ Oppos e ˊ}{10}

On résout comme une équation à trou. Ici, le Côté Opposé est égal à $10 \times sin (3 0^{\circ})$ . La calculatrice te donnera le résultat (ici 5 cm).

Vérifie toujours que ta calculatrice est bien réglée en mode Degrés. Un petit "D" ou "DEG" doit s'afficher à l'écran. Sinon, tes résultats seront faux.

4. Calculer un angle

Si tu connais deux longueurs, tu peux retrouver la mesure de l'angle. Tu vas calculer le rapport, puis demander à la calculatrice de retrouver l'angle correspondant.

Pour retrouver l'angle, on utilise les touches "Arcsin", "Arccos", "Arctan" (parfois notées

sin^{- 1}

cos^{- 1}

tan^{- 1}

). On y accède souvent avec la touche "Seconde" ou "Shift" de la calculatrice.

Exemple : Si le côté opposé vaut 3 cm et l'adjacent vaut 3 cm, on utilise la Tangente (TOA). On écrit

tan (Angle) = \frac{3}{3} = 1

. Sur la machine, on tape

arctan (1)

et elle répond

4 5^{\circ}

En résumé : identifie les côtés par rapport à l'angle, choisis la bonne formule (SOH CAH TOA) et utilise la calculatrice pour trouver la longueur ou l'angle.

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