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Maîtriser les équations produits

L'élève doit résoudre algébriquement des équations de la forme (ax + b)(cx + d) = 0. Il applique la règle du produit nul pour déterminer les différentes solutions possibles.

Duree estimee : 20 min

Le secret du produit nul

Imagine que je tiens deux cartes cachées. Sur chacune, il y a un nombre. Je te dis que si je multiplie ces deux nombres, le résultat est zéro. Que peux-tu en déduire ?

Dessin simple sur fond blanc : deux cartes à jouer face cachée côte à côte, avec un signe de multiplication 'x' entre les deux et un signe '=' suivi du chiffre '0' à droite. Une main pointe vers les cartes. — Visualisons cette situation pour bien comprendre la logique.

C'est logique : pour obtenir zéro en multipliant deux nombres, il est obligatoire que l'un des deux soit égal à zéro (ou les deux). On ne peut pas obtenir zéro en multipliant deux nombres non nuls.

Propriété du produit nul : Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul.

Résoudre une équation produit

Une équation produit ressemble à ceci : $(x - 3) (2 x + 8) = 0$ . Deux parenthèses sont multipliées et le résultat vaut zéro. C'est comme nos deux cartes cachées.

Pour résoudre cette équation, on applique la règle : soit le premier facteur $(x - 3)$ vaut 0, soit le deuxième $(2 x + 8)$ vaut 0. Cela sépare le problème en deux petites équations simples.

Prenons

(x - 5) (3 x + 6) = 0

. Premier cas :

x - 5 = 0

, donc

x = 5

. Deuxième cas :

3 x + 6 = 0

, donc

3 x = - 6

, soit

x = - 2

. Les solutions sont 5 et -2.

Attention ! Ne développe surtout pas les parenthèses. Si tu calcules le produit, tu obtiendras des

x^{2}

et l'équation deviendra beaucoup plus difficile à résoudre.

Finis toujours par une phrase de conclusion : L'équation a deux solutions : -2 et 5.

Le cas des équations au carré

Parfois, l'équation est sous la forme $x^{2} = 9$ . Pour appliquer la règle du produit nul, on doit avoir ' $= 0$ ' à droite. On soustrait 9 de chaque côté pour obtenir $x^{2} - 9 = 0$ .

Schéma mathématique simple sur fond blanc : à gauche écrit en noir 'x² - 9 = 0', une flèche bleue pointe vers la droite vers le texte en rouge '(x - 3)(x + 3) = 0'. — On utilise l'identité remarquable $a^{2} - b^{2}$ pour transformer cette expression en produit.

On reconnaît la forme $a^{2} - b^{2}$ qui se factorise en $(a - b) (a + b)$ . Donc $x^{2} - 9 = 0$ devient $(x - 3) (x + 3) = 0$ . Nous sommes revenus à une équation produit classique.

Exemple :

x^{2} = 16

devient

x^{2} - 16 = 0

, soit

(x - 4) (x + 4) = 0

. Les solutions sont donc 4 et -4.

Ne confonds pas ! Si

x^{2} = 25

, la réponse n'est pas juste 5. N'oublie pas la solution négative : c'est 5 OU -5.

Quand l'équation est cachée

Parfois, l'équation n'est pas un produit, comme : $(x + 1) (x + 2) + (x + 1) (3 x - 4) = 0$ . C'est une addition (somme). Pour appliquer la règle, il faut d'abord factoriser.

Repère le facteur commun. Ici, le bloc $(x + 1)$ apparaît deux fois. On le met devant pour transformer l'addition en multiplication.

On factorise :

(x + 1) [(x + 2) + (3 x - 4)] = 0

. On réduit le crochet :

(x + 1) (4 x - 2) = 0

. Il suffit ensuite de résoudre : soit

x = - 1

, soit

x = 0, 5

Retiens bien : si tu vois un '

+

' ou un '

-

' entre deux blocs, factorise d'abord pour obtenir un produit '

= 0

Mise en équation

Les équations produits servent souvent à résoudre des énigmes. Par exemple : quel nombre a son carré égal à son triple ?

On pose l'équation

x^{2} = 3 x

. On transforme pour avoir zéro :

x^{2} - 3 x = 0

. On factorise par

x

x (x - 3) = 0

. Les solutions sont 0 et 3.

Astuce : Pour résoudre un problème, écris l'égalité, passe tout à gauche pour avoir '

= 0

', puis factorise.

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