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Résoudre l'équation $x^2 = a$

L'élève doit déterminer le nombre de solutions d'une équation du type x² = a selon le signe de a. Il doit être capable de donner les solutions exactes ou approchées (racine carrée).

Duree estimee : 20 min

Introduction : Une histoire de carrés

Bonjour ! Nous allons apprendre à résoudre l'équation $x^{2} = a$ . C'est une notion essentielle pour le Brevet. Commençons par une situation simple pour comprendre.

Imagine un carré dont l'aire est de 25 cm². Tu cherches la longueur de son côté. Intuitivement, tu trouves 5 cm, car $5 \times 5 = 25$ .

Dessin épuré d'un carré bleu sur fond blanc. Au centre : 'Aire = 25'. Sur le côté gauche : 'x = ?'. — On connaît l'aire (l'intérieur), on cherche le côté.

En mathématiques, cela revient à résoudre $x^{2} = 25$ . Tu as trouvé $5$ . Mais en algèbre, il existe une autre possibilité souvent oubliée. Voyons cela ensemble.

La règle des 3 cas

Pour résoudre $x^{2} = a$ , tout dépend du signe du nombre $a$ (le nombre connu à droite du signe égal).

Cas 1 : Si

a

est positif (

a > 0

), il y a deux solutions.

Reprenons $x^{2} = 25$ . La première solution est $5$ . La deuxième est $- 5$ . Pourquoi ? Parce que $(- 5) \times (- 5)$ donne aussi $+ 25$ selon la règle des signes.

Les solutions sont :

a

- a

(racine de

a

et moins racine de

a

Cas 2 : Si

a

est nul (

a = 0

), il y a une seule solution.

L'équation $x^{2} = 0$ n'a qu'une solution : $x = 0$ . C'est logique, car seul $0$ multiplié par lui-même donne $0$ .

Cas 3 : Si

a

est négatif (

a < 0

), il n'y a pas de solution.

Si on te demande de résoudre $x^{2} = - 16$ , c'est impossible. Un carré est toujours positif ou nul. Il ne peut jamais être égal à un nombre négatif.

Exemples et notation exacte

Exemple A : Résous

x^{2} = 9

. Comme

9

est positif, il y a deux solutions :

3

- 3

Attention ! Au Brevet, l'erreur classique est d'oublier la solution négative. N'écris pas seulement

x = 3

. Tu dois écrire : les solutions sont

3

- 3

Exemple B : Résous

x^{2} = 7

. Ici,

7

n'est pas un carré parfait (le résultat ne tombe pas juste). On garde la valeur exacte avec la racine carrée. Les solutions sont

7

- 7

Image style tableau noir. Au centre : x² = 7. Deux flèches en sortent. Flèche 1 vers 'x = √7'. Flèche 2 vers 'x = -√7'. — Visualisation des solutions exactes pour $x^{2} = 7$ .

Ne confonds pas

- 7

- 7

. Le signe moins doit être à l'extérieur de la racine. Écrire

- 7

est une grosse erreur car la racine d'un nombre négatif n'existe pas.

En situation : Problème géométrique

Tu rencontreras souvent cette équation en utilisant le théorème de Pythagore pour chercher une longueur.

Supposons que tu cherches la longueur

x

de l'hypoténuse et que tu arrives à l'équation

x^{2} = 100

. Mathématiquement, les solutions sont

10

- 10

Astuce : Une longueur est toujours positive. Dans un problème de géométrie, on écarte donc la solution négative (

- 10

) pour ne garder que la positive (

10

cm).

À retenir pour

x^{2} = a

: deux solutions si

a > 0

, une seule si

a = 0

, aucune si

a < 0

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