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Probabilités : Expériences à deux épreuves

L'élève doit calculer des probabilités dans le cadre d'expériences aléatoires à deux étapes (tirages successifs avec ou sans remise). Il doit savoir utiliser ou interpréter un arbre pondéré simple décrit textuellement.

Duree estimee : 20 min

1. Comprendre l'expérience à deux épreuves

Une expérience à deux épreuves consiste à enchainer deux actions aléatoires, comme lancer une pièce deux fois ou tirer deux boules successivement. Le résultat final est le couple des deux résultats (ex: Pile puis Face).

Dessin simple style BD. Une main lance une pièce, puis la relance. Des bulles montrent les 4 combinaisons possibles : (Pile, Pile), (Pile, Face), (Face, Pile), (Face, Face). — Pour visualiser toutes les issues possibles, on peut utiliser un tableau à double entrée ou un arbre. Voici l'exemple d'une pièce lancée deux fois.

À retenir : On utilise souvent un arbre des possibles (ou arbre pondéré) pour bien visualiser l'enchainement des deux étapes.

2. Construire et utiliser un arbre pondéré

Sur un arbre, le premier niveau représente la 1re épreuve, et le second niveau la 2de épreuve. Sur chaque branche, on inscrit la probabilité de l'événement correspondant.

Schéma d'un arbre de probabilité propre. Départ -> 2 branches (Pile, Face). De chaque bout -> 2 nouvelles branches (Pile, Face). Sur chaque segment est écrit '1/2'. — Voici l'arbre pour deux lancers de pièce équilibrée. Chaque branche a une chance sur deux ( $\frac{1}{2}$ ).

Règle importante : La somme des probabilités des branches partant d'un même nœud est toujours égale à 1.

Pour calculer la probabilité d'une issue finale (un chemin complet du début à la fin), on multiplie les probabilités rencontrées sur ce chemin.

Exemple : La probabilité d'obtenir "Pile" au 1er lancer (

\frac{1}{2}

) ET "Face" au 2d lancer (

\frac{1}{2}

) se calcule ainsi :

\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

(soit 0,25 ou 25%).

3. Tirages successifs : Avec ou Sans remise ?

Dans les exercices avec des urnes ou des paquets de cartes, lis bien la consigne ! Le mode de tirage change les probabilités de la seconde épreuve.

Tirage AVEC remise : On remet l'objet tiré dans l'urne avant de recommencer. L'urne revient à son état de départ : les probabilités du 2d tirage sont identiques à celles du 1er.

Tirage SANS remise : On garde l'objet tiré ! Pour le 2d tirage, il y a donc un objet de moins au total. Attention à modifier le dénominateur de tes fractions.

Illustration comparative. Gauche (Avec remise): Une urne avec 3 boules rouges, 2 bleues. Une main remet une boule rouge. Droite (Sans remise): La main garde la boule rouge dehors, l'urne ne contient plus que 2 rouges et 2 bleues. — Regarde bien l'évolution du nombre de boules dans le cas "sans remise".

Exemple sans remise (Urne : 3 Rouges, 2 Bleues) : Si tu tires une Rouge (

\frac{3}{5}

), il reste 4 boules dont 2 Rouges. La probabilité d'avoir une Rouge au 2d tirage devient

\frac{2}{4}

(ou

\frac{1}{2}

4. Méthodes et astuces pour le Brevet

Pour un chemin (ET) : on MULTIPLIE les probabilités. Pour un événement composé de plusieurs chemins (OU) : on ADDITIONNE les résultats.

Pense à l'événement contraire ! Si on te demande la probabilité d'avoir "au moins une boule rouge", il est plus rapide de calculer

1 - (probabilit \overset{e}{ˊ} d’avoir aucune boule rouge)

Rappel : Ces calculs donnent une probabilité théorique. Si on répète l'expérience un très grand nombre de fois, les fréquences observées se rapprocheront de cette valeur théorique.

Tu es prêt ! Prends toujours le temps de dessiner un arbre au brouillon pour ne pas oublier de cas. C'est la clé de la réussite.

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