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Géométrie : Volume de la boule et aire de la sphère

L'élève doit calculer le volume d'une boule ou l'aire de la surface d'une sphère en appliquant les formules appropriées à partir du rayon ou du diamètre donné dans l'énoncé.

Duree estimee : 20 min

Sphère ou Boule : Quelle différence ?

Imagine une orange. La peau qui l'entoure représente la sphère (c'est une surface). La chair juteuse à l'intérieur représente la boule (c'est un volume). En maths, on calcule l'aire de la sphère, mais le volume de la boule.

Schéma simple comparatif sur fond blanc. À gauche, une bulle de savon transparente nommée 'Sphère (surface uniquement)'. À droite, une boule de pétanque métallique solide et grise nommée 'Boule (volume intérieur)'. Les deux ont le même rayon indiqué par une flèche rouge notée 'r'. — Retiens l'image : la sphère est vide comme une bulle de savon, la boule est pleine comme une bille en acier.

À retenir : La sphère est une surface (2D), la boule est un solide plein (3D).

Calculer l'aire d'une sphère

Formule de l'aire :

A = 4 \times π \times r^{2}

Moyen mnémotechnique : une aire est en cm² ou m², donc le rayon est au carré (

r^{2}

). Le coefficient devant est 4.

Exemple : Pour une sphère de rayon

r = 5

cm. Calcul :

4 \times π \times 5^{2}

. On calcule d'abord le carré :

5 \times 5 = 25

. Puis

4 \times 25 = 100

. Résultat exact :

100 π

cm². Valeur approchée : environ 314 cm².

Attention ! Si l'énoncé te donne le DIAMÈTRE, divise-le par 2 pour trouver le rayon avant de calculer. Ne mets jamais le diamètre directement dans la formule.

Calculer le volume d'une boule

Formule du volume :

V = \frac{4}{3} \times π \times r^{3}

Ici, le rayon est au cube (puissance 3) car un volume s'exprime en cubes (cm³, m³). La fraction est $\frac{4}{3}$ .

Exemple avec un rayon

r = 3

cm. Volume =

\frac{4}{3} \times π \times 3^{3}

. Comme

3^{3} = 27

, on fait

(4 \times 27) \div 3 = 36

. Le volume exact est

36 π

cm³, soit environ 113 cm³.

Sur ta calculatrice, utilise la touche '

π

' et pas juste '3,14' pour éviter les erreurs d'arrondi. Vérifie toujours si on te demande d'arrondir à l'unité, au dixième ou au centième.

Se repérer sur la sphère terrestre

On assimile la Terre à une sphère. Pour se repérer, on utilise deux angles : la latitude et la longitude.

Schéma d'un globe terrestre bleu sur fond blanc. Une ligne rouge horizontale indique l'Équateur (Latitude 0°). Une ligne rouge verticale indique le Méridien de Greenwich (Longitude 0°). Un point P est placé sur le globe avec des pointillés montrant ses coordonnées. — Les parallèles sont des cercles horizontaux. Les méridiens sont des demi-cercles verticaux qui relient les pôles.

La latitude (Nord ou Sud) est la position par rapport à l'équateur. La longitude (Est ou Ouest) est la position par rapport au méridien de Greenwich.

Exemple de coordonnées : Paris est située à environ 49° Nord (latitude) et 2° Est (longitude).

Solides composés et conversions

Au Brevet, tu devras souvent calculer le volume d'objets complexes, comme un silo (cylindre + demi-boule) ou un cornet (cône + demi-boule).

Astuce : Pour une demi-boule, calcule le volume de la boule complète avec la formule, puis divise le résultat final par 2.

Attention aux unités ! 1 litre = 1 dm³. Si tu calcules un volume en m³, tu dois le convertir en dm³ (

\times 1000

) pour obtenir des litres.

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