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Factoriser avec l'identité remarquable $a^2 - b^2$

L'élève doit reconnaître une différence de deux carrés et utiliser l'identité remarquable correspondante pour factoriser l'expression algébrique. Il s'agit de transformer une soustraction en un produit de la forme (a+b)(a-b).

Duree estimee : 15 min

Comprendre le but du jeu

Bonjour ! Aujourd'hui, nous allons apprendre une technique très utile pour simplifier des calculs. Imagine que tu as une expression qui ressemble à une soustraction entre deux carrés, comme $x^{2} - 9$ .

L'objectif est de transformer cette soustraction en une multiplication (un produit). C'est ce qu'on appelle factoriser. Cette méthode est indispensable pour résoudre certaines équations au Brevet.

Schéma géométrique simple en 2D sur fond blanc. À gauche : un grand carré bleu de côté noté 'a'. À l'intérieur de ce grand carré, dans un coin, un petit carré blanc (vide) de côté noté 'b' est retiré. Une flèche pointe vers la droite montrant le résultat : un rectangle bleu dont la longueur est notée 'a+b' et la largeur 'a-b'. — Regarde cette preuve géométrique : si on a un grand carré de côté ' $a$ ' et qu'on enlève un petit carré de côté ' $b$ ', la surface restante peut former un rectangle de côtés $(a + b)$ et $(a - b)$ .

À retenir : Factoriser, c'est transformer une différence (soustraction) en un produit (multiplication).

La formule magique : $a^2 - b^2$

Pour factoriser une différence de deux carrés, on utilise toujours la même identité remarquable. C'est une formule à connaître par cœur.

La formule est :

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

Le secret est d'identifier '

a

' et '

b

'. Pose-toi la question : quels sont les nombres qui ont été mis au carré ?

Prenons l'expression

x^{2} - 9

. Le premier terme est le carré de

x

. Le deuxième terme,

9

, est le carré de

3

(car

3 \times 3 = 9

). Donc

a = x

b = 3

En appliquant la formule, on remplace $a$ par $x$ et $b$ par $3$ . Cela donne le résultat : $(x + 3) (x - 3)$ .

Niveau supérieur : avec des coefficients

Parfois, le premier terme comporte un nombre devant le $x^{2}$ , comme $4 x^{2}$ ou $25 x^{2}$ . C'est le cas classique au Brevet. Pas de panique, la méthode reste la même.

Factorisons

16 x^{2} - 25

. Quel nombre au carré donne

16 x^{2}

? C'est

4 x

(car

4 x \times 4 x = 16 x^{2}

). Et pour

25

? C'est

5

. Donc

a = 4 x

b = 5

Image explicative sur fond blanc. Au centre en gros caractères noirs : '16x² - 25'. Deux flèches partent du dessous. La flèche sous '16x²' pointe vers 'a = 4x' en bleu. La flèche sous '25' pointe vers 'b = 5' en rouge. En dessous, l'équation finale '(4x + 5)(4x - 5)' avec les termes 4x en bleu et 5 en rouge. — Visualisons l'identification des termes $a$ et $b$ dans ce cas plus complexe.

Attention au piège ! Pour

16 x^{2}

, '

a

' n'est pas

16 x

. Tu dois trouver le nombre qui, au carré, donne

16

. C'est

4

, donc

a = 4 x

Le résultat final pour $16 x^{2} - 25$ est donc $(4 x + 5) (4 x - 5)$ .

À quoi ça sert ? Résoudre des équations

On te demandera souvent de résoudre $x^{2} - 36 = 0$ . Si tu essaies de deviner la réponse, tu risques d'oublier la solution négative. La factorisation est la méthode la plus sûre.

Étape 1 : On factorise

x^{2} - 36

. Cela donne

(x + 6) (x - 6)

. L'équation devient donc :

(x + 6) (x - 6) = 0

On utilise la règle du produit nul : un produit de facteurs est nul si au moins l'un des facteurs est nul. Cela sépare le problème en deux petites équations simples.

Soit

x + 6 = 0

(donc

x = - 6

), soit

x - 6 = 0

(donc

x = 6

). L'équation a deux solutions :

- 6

6

En résumé : repère la différence, trouve '

a

' et '

b

', factorise avec

(a + b) (a - b)

et résous chaque parenthèse séparément.

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