Cours gratuit

Calcul littéral : La double distributivité

L'élève doit développer et réduire des expressions algébriques en utilisant la double distributivité ou l'identité remarquable (a+b)(a-b). Il transforme des produits d'expressions en sommes simplifiées.

Duree estimee : 20 min

Comprendre le principe : l'approche géométrique

Bonjour ! Aujourd'hui, nous allons apprendre à développer des expressions du type $(a + b) (c + d)$ . Pour comprendre, imaginons l'aire d'un grand rectangle découpé en quatre zones.

Schéma géométrique 2D simple sur fond blanc. Un grand rectangle divisé en quatre parties rectangulaires inégales par une ligne verticale et une ligne horizontale. Les longueurs des côtés du haut sont annotées 'a' et 'b'. Les largeurs sur le côté gauche sont annotées 'c' et 'd'. Les quatre aires intérieures sont colorées différemment en tons pastels. — Regarde ce schéma. L'aire totale est la somme des aires des 4 petits rectangles à l'intérieur. C'est le principe de la double distributivité.

Au lieu de multiplier la longueur totale par la largeur totale, on additionne les quatre morceaux : $a c + a d + b c + b d$ . Chaque terme de la première parenthèse rencontre chaque terme de la seconde.

À retenir :

(a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d

La méthode pratique : distribuer pas à pas

Pour calculer sans dessin, utilise la méthode des flèches. Tu dois effectuer quatre multiplications successives.

Illustration mathématique simple sur fond blanc. L'expression (x + 3)(x + 2) est écrite en noir au centre. Quatre flèches courbes colorées partent du haut et du bas pour relier les termes : une flèche part du premier 'x' vers le deuxième 'x', une autre du premier 'x' vers le '2'. Ensuite, une flèche part du '3' vers le 'x', et une dernière du '3' vers le '2'. — Visualise le trajet : le premier terme ' $a$ ' multiplie ' $c$ ' puis ' $d$ '. Ensuite, le second terme ' $b$ ' multiplie ' $c$ ' puis ' $d$ '.

Développons

A = (x + 2) (x + 3)

. On distribue :

x \times x

, puis

x \times 3

, puis

2 \times x

, puis

2 \times 3

On calcule les produits : $x^{2} + 3 x + 2 x + 6$ . Enfin, on réduit l'expression en regroupant les termes de même nature (les $x$ avec les $x$ ).

Résultat final :

A = x^{2} + 5 x + 6

Gérer les signes négatifs

C'est la source principale d'erreurs au Brevet. Rappelle-toi que le signe appartient toujours au nombre qui le suit. Applique la règle des signes pour chaque multiplication.

Attention : dans

(2 x - 3) (x + 4)

, le 3 est négatif. Tu dois multiplier

(- 3)

par

x

, puis

(- 3)

par 4. N'oublie pas le signe moins en route !

Développons

B = (2 x - 3) (4 - x)

. Les 4 produits sont :

(2 x \times 4) + (2 x \times - x) + (- 3 \times 4) + (- 3 \times - x)

Cela donne : $8 x - 2 x^{2} - 12 + 3 x$ . (Note que $- 3 \times - x$ donne $+ 3 x$ ). Maintenant, on ordonne et on réduit.

En regroupant

8 x

3 x

, on obtient :

- 2 x^{2} + 11 x - 12

Objectif Brevet : Prouver une égalité

Une consigne fréquente en 3e est : 'Montrer que l'expression $A$ est égale à l'expression $B$ '. Pour cela, il suffit souvent de développer l'une des deux expressions.

Exercice type : Montrer que

(x + 3) (x - 2) = x^{2} + x - 6

On développe le membre de gauche : $x \times x + x \times (- 2) + 3 \times x + 3 \times (- 2)$ . Ce qui donne $x^{2} - 2 x + 3 x - 6$ .

On réduit :

- 2 x + 3 x = x

. On retrouve bien

x^{2} + x - 6

. L'égalité est prouvée !

Prends toujours le temps de bien vérifier tes signes à la dernière ligne. C'est la clé de la réussite en calcul littéral. Bon entraînement !

Entraînement officiel

Prêt à relever le Défi 5?

Mets tes nouvelles connaissances à l'épreuve : survis aux 10 questions du chapitre avec 5 vies et 20 secondes par manche !

LANCER LE DÉFI 5