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Arithmétique : Fractions irréductibles et problèmes

Utiliser la décomposition en facteurs premiers pour simplifier des fractions ou résoudre des problèmes de périodicité (engrenages).

Duree estimee : 20 min

Les briques élémentaires : Nombres premiers

Imagine que les nombres entiers sont comme des constructions en Lego. Certaines pièces sont uniques et ne peuvent pas être démontées : ce sont les nombres premiers. Tous les autres nombres sont fabriqués en assemblant ces briques.

Un nombre premier est un nombre entier qui possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.
Voici les premiers nombres premiers à connaître (inférieurs à 30) : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Par exemple, 13 est premier car ses seuls diviseurs sont 1 et 13.
Attention ! Le nombre 1 n'est PAS un nombre premier. Il n'a qu'un seul diviseur (lui-même), alors qu'il en faut exactement deux pour être premier.

On peut décomposer n'importe quel nombre entier en un produit de facteurs premiers. Pour cela, on essaie de le diviser par 2, 3, 5, etc., jusqu'à obtenir 1.

Décomposons 84 : 84 divisé par 2 donne 42. 42 divisé par 2 donne 21. 21 n'est pas divisible par 2, on essaie 3 qui donne 7. 7 est premier, on divise par 7 qui donne 1. Résultat : .

Simplifier au maximum : Fractions irréductibles

Pourquoi simplifier ? Il est plus facile de visualiser 1 demi de pizza que 50 centièmes, même si la quantité est la même. Rendre une fraction irréductible, c'est l'écrire avec les nombres les plus petits possibles.

Dessin simple de deux pizzas rondes identiques vues de dessus. La pizza de gauche est coupée en 2 parts égales, 1 part est coloriée. La pizza de droite est coupée en 8 parts égales, 4 parts sont coloriées.
Cette image montre que diviser en beaucoup de petits morceaux ou en peu de gros morceaux revient au même si la quantité totale est identique.

Pour rendre une fraction irréductible, décompose le numérateur (haut) et le dénominateur (bas) en facteurs premiers. Ensuite, supprime les facteurs identiques en haut et en bas.

Simplifions . On a vu que . Pour 60, c'est . On barre les deux '2' et le '3' communs. Il reste 7 en haut et 5 en bas. La fraction simplifiée est .
Une fraction est irréductible quand le seul diviseur commun au numérateur et au dénominateur est 1. Si tu peux encore diviser, continue !

Problèmes : Engrenages et fréquences

L'arithmétique permet de résoudre des problèmes de cycles. Cela s'applique aux engrenages (quand vont-ils se recaler ?) mais aussi aux fréquences (quand deux bus partiront-ils ensemble ?).

Illustration en cours de conception

Visualise deux roues dentées. On cherche à savoir quand les marques rouges se toucheront à nouveau.

La roue A a 12 dents, la roue B en a 18. Elles démarrent alignées. Au bout de combien de dents seront-elles de nouveau alignées pour la première fois ?

On cherche un multiple commun à 12 et 18. Multiples de 12 : 12, 24, 36, 48... Multiples de 18 : 18, 36, 54... Le premier nombre commun est 36. Elles seront alignées au bout de 36 crans.

Pour des petits nombres, on fait la liste des multiples. Pour des grands nombres, utiliser la décomposition en facteurs premiers est plus rapide pour trouver ce multiple commun.
À retenir : utilise la décomposition en facteurs premiers pour simplifier les fractions et cherche les multiples communs pour résoudre les problèmes de cycles.

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