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Agrandissements, réductions et homothéties

L'élève utilise un rapport d'homothétie k pour calculer de nouvelles longueurs, aires ou volumes. Il doit appliquer les coefficients k, k² et k³ selon la grandeur géométrique concernée.

Duree estimee : 20 min

1. Qu'est-ce qu'une homothétie ?

Imagine que tu zoomes sur une photo avec ton téléphone. L'image grandit ou rétrécit, mais ne se déforme pas : les angles restent les mêmes et les droites parallèles restent parallèles. En mathématiques, cette transformation s'appelle une homothétie.

Illustration en cours de conception

Regarde ce schéma : comme une ombre chinoise, la petite figure devient grande grâce à une source de lumière (le centre).

Une homothétie est définie par un centre (un point fixe souvent noté $O$ ) et un rapport (un nombre noté $k$ ). Le centre est le point de départ. Le rapport $k$ indique de combien on agrandit ou réduit la figure, et dans quel sens.

Important : L'homothétie conserve les angles et le parallélisme. La figure image a donc exactement la même forme que la figure de départ.

k

est plus grand que

1

, c'est un agrandissement. Si

k

est entre

0

1

, c'est une réduction.

2. Construire et gérer le signe de $k$

Pour placer l'image $M^{'}$ d'un point $M$ , trace la droite $(O M)$ . Le point $M^{'}$ est aligné avec $O$ et $M$ . Pour trouver sa position exacte, on calcule la distance $O M^{'}$ en multipliant la distance $O M$ par la valeur de $k$ (sans le signe moins).

Le signe de

k

t'indique la direction. Si

k

est positif,

M^{'}

est du même côté que

M

. Si

k

est négatif (exemple

k = - 2

M^{'}

passe de l'autre côté du centre

O

. La figure se retrouve "tête en bas", comme après une symétrie centrale.

Schéma géométrique sur fond blanc. Au centre, un point noir étiqueté O. À droite de O, un petit sapin vert vertical. À gauche de O, un sapin vert deux fois plus grand mais la tête en bas. Une ligne pointillée relie la cime du petit sapin à la cime du grand sapin en passant par O. — Voici l'effet d'un rapport négatif : la figure s'agrandit mais se retourne de l'autre côté du centre.

Attention : une distance est toujours positive ! Même si le rapport

k

est négatif (ex:

- 2

), pour calculer la longueur

O M^{'}

, tu multiplies

O M

par

2

. Le signe moins ne sert qu'à placer le point du côté opposé.

3. Effets sur les Aires et les Volumes

C'est une notion clé pour le Brevet. Quand on applique un coefficient d'agrandissement ou de réduction $k$ (toujours positif ici), les longueurs sont multipliées par $k$ . Mais l'impact est beaucoup plus fort sur les surfaces et les volumes.

À retenir par cœur : Longueurs

\times k

, Aires

\times k^{2}

, Volumes

\times k^{3}

Si tu doubles les dimensions d'un carré (

k = 2

), son aire est multipliée par

4

(car

2^{2} = 4

). Si tu triples les dimensions d'un cube (

k = 3

), son volume est multiplié par

27

(car

3^{3} = 3 \times 3 \times 3 = 27

Dessin en perspective isométrique sur fond blanc. À gauche, un petit cube rouge unique (1x1x1). À droite, un grand cube rouge formé par l'empilement de 8 petits cubes rouges identiques (2x2x2). Une flèche indique le passage du petit au grand avec l'étiquette 'k=2, Volume x8'. — Visualisons cela : un grand cube de côté $2$ contient bien 8 petits cubes de côté $1$ (car $2$ au cube $= 8$ ).

Ne tombe pas dans le panneau ! Si on agrandit une figure avec un rapport

3

, l'aire n'est pas multipliée par

3

, mais par

9

. Le volume n'est pas multiplié par

3

, mais par

27

Pour trouver le coefficient

k

, divise une longueur d'arrivée par la longueur de départ correspondante. Si le résultat est plus petit que

1

, c'est une réduction.

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