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Le Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI)

Utiliser le corollaire du TVI pour justifier l'existence et l'unicité d'une solution à l'équation f(x) = k. L'élève doit vérifier les conditions de continuité et de stricte monotonie sur un intervalle.

Duree estimee : 20 min

Comprendre l'intuition du TVI

Imagine une randonnée. Tu pars de 1000m d'altitude pour monter à 2000m. Est-il possible de faire ce trajet sans jamais passer par l'altitude 1500m ?

Non, c'est impossible sans téléportation ! Tu es obligé de passer par toutes les altitudes intermédiaires. En maths, on dit que ta trajectoire est continue. C'est le principe de base du Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI).

Graphique épuré 2D sur fond blanc. Un repère classique. Une courbe bleue continue relie un point A (ordonnée négative) à un point B (ordonnée positive). Une ligne horizontale rouge pointillée traverse le graphique à l'ordonnée 0. La courbe coupe la ligne rouge au moins une fois. — Regarde cette courbe : pour aller de $A$ (en bas) à $B$ (en haut) sans lever le crayon, elle coupe obligatoirement la ligne rouge.

Le TVI affirme que si une fonction

f

est continue sur un intervalle, elle atteint toutes les valeurs intermédiaires entre le début et la fin. L'équation

f (x) = k

admet donc au moins une solution.

Prouver l'existence et l'unicité

Le TVI simple garantit qu'il y a au moins une solution, mais il peut y en avoir plusieurs (si la courbe fait des vagues). Au Bac, on te demande souvent de prouver que la solution est unique.

Pour avoir une seule solution, la fonction ne doit pas changer de sens de variation. Elle doit être strictement monotone (soit strictement croissante, soit strictement décroissante) sur l'intervalle.

Deux graphiques côte à côte. Gauche : courbe verte qui ondule et coupe une ligne horizontale rouge trois fois. Droite : courbe bleue strictement croissante qui coupe la même ligne horizontale rouge exactement une seule fois. — Comparaison : à gauche, la fonction ondule et coupe la ligne 3 fois. À droite, elle monte tout droit et ne coupe la ligne qu'une seule fois.

Pour utiliser le Corollaire du TVI (unicité), vérifie 3 points : 1.

f

est continue. 2.

f

est strictement monotone. 3. Le nombre

k

est compris entre les images des bornes.

La méthode de rédaction parfaite

Commence par justifier que $f$ est continue (souvent car elle est dérivable). Ensuite, calcule la dérivée $f^{'} (x)$ et étudie son signe pour dresser le tableau de variations complet.

Exemple :

f (x) = x^{3} + x - 3

sur

[1; 2]

.
1.

f

est continue (polynôme) et dérivable.
2.

f^{'} (x) = 3 x^{2} + 1

est toujours positif, donc

f

est strictement croissante.
3.

f (1) = - 1

f (2) = 7

.
Comme

0

est compris entre

- 1

7

, l'équation

f (x) = 0

a une unique solution.

Conclus toujours par la phrase type : D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation

f (x) = k

admet une unique solution

α

sur l'intervalle.

Attention aux intervalles ouverts ou infinis ! Si tu travailles sur

] 0; + \infty [

, tu ne peux pas calculer d'image aux bornes. Tu dois utiliser les limites de la fonction.

Trouver la valeur de la solution

Le théorème prouve que la solution existe, mais ne donne pas sa valeur. Pour l'encadrer, utilise le mode Table de ta calculatrice.

On cherche quand $f (x)$ franchit la valeur cible. Règle le pas de ta table (ex: 0,1) et repère le changement de signe. Si $f (1, 2)$ est négatif et $f (1, 3)$ est positif, alors la solution est piégée entre 1,2 et 1,3.