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Résoudre l'équation différentielle $y' = ay + b$

Identifier et écrire l'ensemble des solutions d'une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants. Déterminer la solution particulière vérifiant une condition initiale donnée.

Duree estimee : 20 min

Comprendre le principe et le cas simple $y' = ay$

Imagine une tasse de café chaud. Plus le café est chaud par rapport à la pièce, plus il refroidit vite. En maths, cela signifie que la vitesse de variation $y^{'}$ est proportionnelle à la grandeur $y$ . C'est le principe de base.

Commençons par l'équation dite homogène : $y^{'} = a y$ , où $a$ est un nombre réel constant. On cherche une fonction $y$ dont la dérivée est égale à $a$ fois elle-même.

Graphique épuré sur fond blanc avec axes x et y. Trois courbes de fonctions exponentielles (croissantes et décroissantes) passant toutes par le point (0, 1), illustrant différents paramètres a. — La fonction exponentielle est la clé ici, car elle est égale à sa propre dérivée (au facteur $a$ près).

À retenir : Les solutions de

y^{'} = a y

sont les fonctions définies par

f (x) = k \times exp (a x)

, où

k

est une constante réelle quelconque.

Exemple : Pour résoudre

y^{'} = 3 y

, on identifie

a = 3

. Les solutions sont toutes les fonctions de la forme

f (x) = k \times exp (3 x)

, avec

k

un nombre réel.

Le cas complet : $y' = ay + b$

Passons à l'équation $y^{'} = a y + b$ , où $b$ est une constante (avec $a$ non nul). La méthode se fait en deux étapes : trouver une solution particulière constante, puis ajouter la solution générale vue juste avant.

Étape 1 : On cherche une solution constante $p (x) = p$ . Puisque la fonction est constante, sa dérivée est nulle ( $p^{'} = 0$ ). L'équation devient $0 = a p + b$ , ce qui donne $p = - \frac{b}{a}$ .

Attention au signe ! La solution particulière est bien

- \frac{b}{a}

. Une erreur fréquente est d'oublier le moins ou d'inverser

a

b

Étape 2 : On additionne cette constante à la solution de l'équation homogène (celle avec $k$ ). On obtient ainsi l'ensemble de toutes les solutions.

Formule finale : Les solutions de

y^{'} = a y + b

sont les fonctions

f (x) = k \times exp (a x) - \frac{b}{a}

Trouver la solution unique

La constante $k$ signifie qu'il existe une infinité de solutions. Pour trouver l'unique solution qui correspond à un problème donné, on utilise une condition initiale, souvent notée $y (0) = y_{0}$ .

Méthode : Écris d'abord la solution générale avec

k

a

b

. Ne cherche la valeur de

k

qu'à la toute fin en remplaçant

x

y

par les valeurs de la condition initiale.

Exercice résolu : Résolvons

y^{'} = 2 y - 4

avec la condition initiale

y (0) = 5

. Ici

a = 2

b = - 4

D'abord, la solution particulière constante vaut $- \frac{b}{a} = - \frac{- 4}{2}$ , soit 2. La forme générale est donc $y (x) = k \times exp (2 x) + 2$ . Ensuite, on utilise $y (0) = 5$ . Cela donne $k \times exp (0) + 2 = 5$ . Comme $exp (0) = 1$ , on trouve $k + 2 = 5$ , donc $k = 3$ .

Conclusion : L'unique solution est la fonction

f (x) = 3 \times exp (2 x) + 2

Illustration en cours de conception

Voici la courbe de l'unique solution. Le point rouge représente la condition initiale $(0; 5)$ par laquelle la courbe est obligée de passer.

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