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La représentation paramétrique d'une droite de l'espace

Déterminer un système d'équations paramétriques à partir d'un point et d'un vecteur directeur. Vérifier par le calcul l'appartenance d'un point à une droite définie paramétriquement.

Duree estimee : 20 min

Comprendre la logique : un point et une direction

Imagine un drone qui part d'un point précis dans le ciel et avance en ligne droite. Pour connaître sa position à chaque seconde, tu as besoin de deux infos : son point de départ et son vecteur vitesse. En mathématiques, la représentation paramétrique fonctionne exactement ainsi.

Schéma 3D épuré sur fond blanc avec les axes x, y, z en gris clair. Une droite traverse l'espace. Sur cette droite, un point A est marqué et un vecteur u est représenté par une flèche partant de A sur la droite. Un point M est placé plus loin. — Regarde ce schéma : une droite est définie par un point d'ancra $A$ e A et un vecteur directeu $u$ u qui donne le cap. N'importe quel po $M$ nt M de la droite peut être atteint en partant de A $A$ t en glissant le long du vecteur u un cert $u$ in nombre de fois.

Mathématiquement, un point $M (x; y; z)$ appartient à la droite passant par A et $A$ de vecteur directeur u si et $u$ eulement si les vecteurs AM et u sont colinéaires. $A M$ ela $u$ ignifie qu'il existe un nombre réel t tel que le vec $t$ eur AM est égal à t fois l $A M$ vecteur u. $t$ $u$

A (x_{A}; y_{A}; z_{A})

u (a; b; c)

, cette égalité vectorielle se traduit par le système :

x = x_{A} + a t, y = y_{A} + b t, z = z_{A} + c t

(avec

t

réel).

Le nombre $t$ est appelé le paramètre. À chaque valeur de $t$ correspond une position unique sur la droite $t = 0$ 0 donne le point $A$ A, $t = 1$ 1 donne le point $A$ A translaté de $u$ u, etc.).

Déterminer et identifier une représentation

Si l'énoncé te donne un point $A (x_{A}; y_{A}; z_{A})$ et un vecteur directeur $u (a; b; c)$ , c'est immédiat. Tu remplaces simplement les valeurs dans le système $x = x_{A} + a t, y = y_{A} + b t, z = z_{A} + c t$ ct.

Exemple : Avec

A (1; 2; - 3)

u (2; - 1; 4)

, on obtient :

x = 1 + 2 t, y = 2 - 1 t, z = - 3 + 4 t

. C'est tout !

Savoir faire l'inverse est crucial : si on te donne un système, sache identifier la droit

t

. Les nombres constants (sans t) sont les coordonnées d'un point de la droite. Les c

t

(a, b, c)

devant t (a, b, c) sont les coordonnées du vecteur directeur.

Si on te demande la droite passant par deux points $A$ et $B$ , le vecteur directeur n'est pas donné explicitement. Tu dois d'abord calculer $A B$ e $(x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A}; z_{B} - z_{A})$ B-yA; zB-zA) qui servira de $u$ vecteur u. Ensuite, $A$ utili $B$ e A (ou B) comme point d'ancrage.

Attention : une droite possède une infinité de représentations paramétriques ! Si tu c

B

oisis le poi

A

t B au lieu de A,

B A

u le vecteur

A B

A au lieu de AB, ton système sera différent mais géométriquement correct. Ne sois pas surpris si ton résultat diffère de celui du corrigé.

Vérifier si un point appartient à la droite

Pour savoir si un point $P (x_{P}; y_{P}; z_{P})$ est sur la droite, remplace $x$ , $y$ et $z$ par les coordonnées de P $P$ dans le système. Tu obtiens trois équations avec $t$ comme inconnue. Résous-les séparément.

Le point

P

appartient à la droite si et seulement si tu trouves une valeur

t

de t identique pour les trois lignes.

Système :

x = 1 + t, y = 2 t, z = 3 - t

. Testons

P (2; 2; 0)

. Ligne

x

2 = 1 + t a r r o w t = 1

. Ligne

y

2 = 2 t a r r o w t = 1

Ligne z

z

: 0

0 = 3 - t a r r o w t = 3

On a t

t = 1

pour x

x

et y

y

mais t

t = 3

pour z

z

Comme la valeur de

t

n'est pas unique pour les trois coordonnées, le système est incohérent : le point P n'a

P

partient pas à la droite.

Positions relatives de deux droites

Pour comparer deux droites, regarde d'abord leurs vecteurs directeurs. S'ils sont colinéaires (coordonnées proportionnelles), les droites sont parallèles (ou confondues). Sinon, elles sont soit sécantes (se croisent), soit non coplanaires (ni parallèles ni sécantes).

Image divisée en trois parties verticales. Gauche: deux droites parallèles. Centre: deux droites sécantes avec un point d'intersection marqué. Droite: deux droites non coplanaires qui semblent se croiser en 2D mais sont à des hauteurs différentes en 3D. — Visualise les cas : 1) Parallèles (comme des rails). 2) Sécantes (se croisent en un point). 3) Non coplanaires (l'une passe "au-dessus" de l'autre sans contact, comme un avion au-dessus d'une autoroute).

Si les vecteurs ne sont pas colinéaires, cherche une intersection. On égale les coordonné $x = x^{'}, y = y^{'}, z = z^{'}$ èmes (x=x', y=y', z=z') pour former un système de 3 équations à 2 inconnues (les deux paramètres).

Piège classique : n'utilise pas la même lettre pour le paramètre des deux droites

t

Utilise t pour la prem

k

ère e

t^{'}

k (ou t') pour la seconde. Sinon, tu supposes à tort qu'elles sont parcourues à la même "vitesse" et tu rateras l'intersection.

En résumé :

vecteurs non colin \overset{e}{ˊ} aires + syst \overset{e}{ˋ} me avec solution unique = droites s \overset{e}{ˊ} cantes

Vecteurs non colin \overset{e}{ˊ} aires + pas de solution = droites non coplanaires

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