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Intégrales : Relation de Chasles et linéarité

Utiliser la relation de Chasles pour découper une intégrale sur des intervalles adjacents et appliquer la linéarité pour simplifier des calculs d'intégrales.

Duree estimee : 15 min

La relation de Chasles : le principe du relais

Imagine un trajet Paris-Marseille avec un arrêt à Lyon. La distance totale est la somme du trajet Paris-Lyon et du trajet Lyon-Marseille. Pour les intégrales, c'est la même logique : on additionne les aires de parties adjacentes.

Graphique 2D avec axes X et Y. Une courbe positive lisse. L'aire sous la courbe est divisée en deux parties adjacentes par une ligne verticale. La partie gauche est coloriée en bleu, la partie droite est coloriée en orange. Les bornes sur l'axe X sont marquées a, b et c de gauche à droite. — Observe ce schéma : l'aire totale entre les bornes $a$ et $c$ est simplement la somme de l'aire bleue (de $a$ à $b$ ) et de l'aire orange (de $b$ à $c$ ).

Mathématiquement, pour une fonction $f$ continue et trois réels $a$ , $b$ et $c$ , la relation de Chasles s'écrit simplement. L'intégrale de $f$ entre $a$ et $c$ est égale à l'intégrale de $f$ entre $a$ et $b$ additionnée à l'intégrale de $f$ entre $b$ et $c$ .

Si l'intégrale d'une fonction entre

0

2

vaut

5

, et que son intégrale entre

2

6

vaut

12

, alors l'intégrale totale entre

0

6

est la somme

5 + 12

, soit

17

Pour que cela fonctionne, la borne supérieure de la première intégrale doit être identique à la borne inférieure de la seconde. Vérifie aussi qu'il s'agit bien de la même fonction

f

dans les deux termes.

La linéarité : simplifier les calculs

La linéarité est une propriété essentielle qui permet de décomposer une intégrale complexe en calculs plus simples. Elle repose sur deux règles faciles à retenir.

Règle 1 : L'intégrale d'une somme est la somme des intégrales. Autrement dit, l'intégrale de

(f + g)

est égale à l'intégrale de

f

plus l'intégrale de

g

Règle 2 : Tu peux sortir une constante multiplicative de l'intégrale. L'intégrale de

(k \times f)

est égale à

k

fois l'intégrale de

f

Pour calculer l'intégrale de

(3 x^{2} + 5)

entre

0

1

, tu peux séparer le calcul en deux. Tu calcules

3

fois l'intégrale de

x^{2}

puis tu ajoutes l'intégrale de

5

. C'est plus sûr pour trouver les primitives.

Schéma explicatif simple sur fond blanc. À gauche, une forme complexe violette sous une courbe représentant une somme. Une flèche pointe vers la droite où cette aire est décomposée en deux aires plus simples : une rouge et une bleue, séparées par un signe plus. — On peut voir l'aire sous une somme de fonctions comme la superposition de deux aires distinctes.

Utiliser ces propriétés au Bac

Les exercices du Bac demandent souvent de simplifier une expression algébrique avec des intégrales avant de calculer. L'objectif est de se ramener à une seule intégrale facile à calculer.

Imagine que tu dois calculer la somme de l'intégrale de

(2 x + 1)

1

3

et de l'intégrale de

(2 x + 1)

3

5

. Comme la fonction est la même et que les bornes se suivent, la relation de Chasles permet de calculer directement une seule intégrale de

1

5

Regarde toujours si tu peux regrouper les intégrales ou sortir les constantes avant de chercher les primitives. Cela réduit le risque d'erreur de calcul.

En bref : Chasles permet de recoller les intervalles bout à bout, tandis que la linéarité permet de séparer les sommes et de sortir les constantes multiplicatives.

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