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Produit scalaire et orthogonalité dans l'espace

Calculer le produit scalaire de deux vecteurs à partir de leurs coordonnées pour démontrer qu'ils sont orthogonaux. L'élève doit appliquer la formule analytique xx' + yy' + zz'.

Duree estimee : 20 min

1. Le produit scalaire avec coordonnées

Bonjour ! Nous allons étendre le produit scalaire vu en Première à l'espace (3D). La logique reste la même que dans le plan, mais avec une troisième coordonnée $z$ . Les propriétés géométriques (normes, angles) sont conservées.

Schéma 3D simple sur fond blanc : un repère orthonormé (O, i, j, k) avec les axes x, y et z en noir. Un vecteur u rouge part de l'origine vers le point de coordonnées (2, 3, 4). Des pointillés gris marquent les projections sur les axes. — Dans un repère orthonormé $(O; i, j, k)$ , chaque vecteur possède trois composantes $x$ , $y$ et $z$ .

u (x; y; z)

v (x^{'}; y^{'}; z^{'})

sont deux vecteurs, leur produit scalaire est :

u \cdot v = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}

.v = xx' + yy' + zz'.

Exemple : Soit

u (1; - 2; 3)

v (4; 2; 1)

. Le produit scalaire vaut

(1 \times 4) + (- 2 \times 2) + (3 \times 1) = 4 - 4 + 3 = 3

Attention aux signes ! C'est l'erreur la plus fréquente. Rappelle-toi que multiplier deux nombres négatifs donne un positif. Écris toujours tes calculs intermédiaires.

2. Démontrer l'orthogonalité

Le produit scalaire est l'outil principal pour prouver que deux vecteurs sont orthogonaux (c'est-à-dire que leurs directions sont perpendiculaires).

Propriété fondamentale : Deux vecteurs

u

v

sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul (

u \cdot v = 0

Vérifions si

u (1; 2; - 5)

v (3; 1; 1)

sont orthogonaux. Calcul :

1 \times 3 + 2 \times 1 + (- 5) \times 1 = 3 + 2 - 5 = 0

. Le résultat est

0

, donc les vecteurs sont bien orthogonaux.

Dessin géométrique sur fond blanc : deux vecteurs fléchés bleus qui partent d'un même point. Ils forment un angle de 90 degrés parfait. Un petit carré rouge symbolise l'angle droit entre les deux flèches. — Cela signifie que les vecteurs forment un angle droit.

Pour montrer que deux droites

(A B)

(C D)

sont orthogonales, calcule simplement le produit scalaire des vecteurs

A B

C D

. S'il vaut

0

, les droites sont orthogonales.

3. Équation cartésienne d'un plan

Un plan est défini par un point $A$ et un vecteur normal $n$ (non nul). Ce vecteur est perpendiculaire à tous les vecteurs contenus dans le plan.

Schéma 3D simple sur fond blanc : un plan gris clair plat représentant une surface. Une flèche rouge épaisse (vecteur) part du centre du plan et pointe verticalement vers le haut, perpendiculairement à la surface. — Visualise une table (le plan) et un stylo posé verticalement dessus (le vecteur normal). Le stylo indique l'orientation du plan.

Si le vecteur normal est

n (a; b; c)

, l'équation du plan est de la forme

a x + b y + cz + d = 0

Les coefficients $a, b, c$ sont donnés par le vecteur normal. Pour trouver ' $d$ ', utilise les coordonnées d'un point $A$ du plan : remplace $x, y, z$ par ceux de $A$ dans l'équation et isole $d$ .

Ne confonds pas ! Les nombres devant

x, y, z

correspondent au vecteur perpendiculaire au plan, et non à un vecteur directeur du plan.

4. Distance et projeté orthogonal

La distance d'un point $M$ à un plan est la longueur $M H$ , où $H$ est le projeté orthogonal de $M$ sur ce plan. C'est le chemin le plus court.

Méthode pour trouver les coordonnées de

H

: 1) Détermine la représentation paramétrique de la droite

(M H)

passant par

M

et dirigée par le vecteur normal du plan. 2) Trouve l'intersection de cette droite avec le plan.

En bref : Produit scalaire nul = vecteurs orthogonaux. Le vecteur normal

n (a; b; c)

donne l'équation

a x + b y + cz + d = 0

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