Cours gratuit

Limites et croissances comparées : le choc des titans

Lever des formes indéterminées en l'infini impliquant les fonctions exponentielle ou logarithme. L'élève doit utiliser les limites de référence (ex: e^x/x ou ln(x)/x) qui imposent leur comportement.

Duree estimee : 25 min

Intuition : Qui gagne la course vers l'infini ?

Imagine une course vers l'infini entre trois concurrents : le logarithme, la fonction puissance (comme $x$ ou $x^{2}$ ) et l'exponentielle. Au début, ils sont au coude à coude, mais très vite, un classement s'installe. C'est ce qu'on appelle la croissance comparée.

Graphique mathématique simple sur fond blanc avec trois courbes de couleurs différentes dans le premier quadrant. Une courbe rouge monte très vite presque à la verticale (exponentielle). Une courbe bleue monte en ligne droite diagonale (fonction x). Une courbe verte monte doucement et s'aplatit vers la droite (logarithme). — Regarde ce graphique : l'exponentielle s'envole verticalement, $x$ avance régulièrement, et le logarithme traîne loin derrière.

À retenir : L'exponentielle l'emporte sur les puissances. Les puissances l'emportent sur le logarithme.

L'exponentielle impose sa loi

En $+ \infty$ , la fonction exponentielle croît beaucoup plus vite que n'importe quelle puissance de $x$ ( $x$ , $x^{2}$ , $x^{3}$ ...). Si tu as un quotient avec de l'exponentielle en haut et du $x$ en bas, c'est l'exponentielle qui gagne et entraîne tout vers l'infini.

Limite de référence : Pour tout entier naturel

n

, la limite de

\frac{e ^{x}}{x ^{n}}

quand

x

tend vers

+ \infty

est

+ \infty

En $- \infty$ , l'exponentielle tend vers $0$ tellement vite qu'elle annule n'importe quelle puissance de $x$ multipliée avec elle. Le produit tend vers $0$ .

Limite de référence : Pour tout entier naturel

n

, la limite de

x^{n} e^{x}

quand

x

tend vers

- \infty

est

0

Exemple : Pour la limite de

x^{3} e^{x}

- \infty

. C'est une forme indéterminée (

\infty \times 0

), mais la croissance comparée nous dit que l'exponentielle gagne. Elle impose le

0

. La limite est donc

0

Attention au signe ! Pour

x^{3} e^{x}

- \infty

, le

x^{3}

est négatif et

e^{x}

est positif. La limite est

0

, mais on s'approche par valeurs négatives (

0^{-}

Le logarithme : le maillon faible

Le logarithme népérien ( $ln$ ) est très lent. Face à une puissance de $x$ , c'est toujours le $x$ qui l'emporte. Si $x$ est au dénominateur en $+ \infty$ , il écrase le $ln$ vers $0$ .

Limite de référence : Pour tout entier naturel

n

, la limite de

\frac{l n ( x )}{x ^{n}}

quand

x

tend vers

+ \infty

est

0

Limite de référence en

0

: Pour tout entier naturel

n

, la limite de

x^{n} ln (x)

quand

x

tend vers

0

est

0

Regardons

x ln (x)

quand

x

tend vers

0

(

x

positif). Le

x

tend vers

0

ln (x)

vers

- \infty

. C'est le

x

qui gagne : il force le résultat à être

0

. La limite est donc

0

Dessin simple style cartoon d'une balance à fléau classique. Sur le plateau de gauche, une grosse enclume noire marquée 'x'. Sur le plateau de droite, une petite plume blanche légère marquée 'ln(x)'. Le plateau de gauche avec l'enclume est tout en bas. — Visualise une balance. D'un côté une plume (le logarithme), de l'autre une enclume (le $x$ ). La balance penche toujours du côté du $x$ .

Technique 1 : Factoriser par le plus fort

Parfois, tu rencontres une forme indéterminée de type ' $\infty - \infty$ ', par exemple $f (x) = e^{x} - x$ en $+ \infty$ . Ici, pas de quotient ni de produit direct. La méthode est de factoriser par le terme prépondérant (le plus fort).

Pour

e^{x} - x

: L'exponentielle est plus forte que

x

. On factorise tout par

e^{x}

. Cela donne :

e^{x} (1 - \frac{x}{e ^{x}})

. On sait que

\frac{x}{e ^{x}}

tend vers

0

(croissance comparée inverse). Donc la parenthèse tend vers

1

. Résultat :

+ \infty

fois

1

, soit

+ \infty

Technique 2 : Le changement de variable

Parfois, la limite ressemble à une formule du cours mais avec un intrus, comme $\frac{e ^{3 x}}{x}$ . L'astuce est de faire un changement de variable pour retrouver la forme exacte $\frac{e ^{X}}{X}$ .

Astuce : Pose une grande lettre

X

égale à ce qui gêne (souvent le bloc dans l'exponentielle ou le

ln

). Si tu as

e^{3 x}

, pose

X = 3 x

. Vérifie ensuite vers quoi tend

X

Pour la limite de

\frac{e ^{3 x}}{x}

+ \infty

: On pose

X = 3 x

, donc

x = \frac{X}{3}

. L'expression devient

\frac{e ^{X}}{\frac{X}{3}} = 3 \times \frac{e ^{X}}{X}

. Quand

x

tend vers l'infini,

X

aussi. On reconnaît la limite de référence

\frac{e ^{X}}{X}

qui vaut l'infini. Résultat :

3

fois l'infini, donc

+ \infty

En résumé : Repère le terme le plus fort (

Exp > Puissance > Ln

). Factorise par lui ou utilise un changement de variable pour conclure.

Entraînement officiel

Prêt à relever le Défi 5?

Mets tes nouvelles connaissances à l'épreuve : survis aux 10 questions du chapitre avec 5 vies et 20 secondes par manche !

LANCER LE DÉFI 5