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Limites de suites : Calculs et Théorèmes

Déterminer la limite d'une suite en utilisant les opérations algébriques, le théorème des gendarmes ou les théorèmes de comparaison vers l'infini. Lever des formes indéterminées simples.

Duree estimee : 20 min

1. Intuition et suites géométriques

Imagine que tu marches vers un mur. À chaque pas, tu parcoures la moitié de la distance restante. Tu te rapproches du mur sans jamais le toucher. En maths, on dit que la distance tend vers $0$ . C'est le concept de limite : une valeur vers laquelle les termes s'accumulent quand $n$ devient très grand.

Dire qu'une suite

u (n)

a pour limite un réel

L

signifie que tout intervalle ouvert contenant

L

contient toutes les valeurs de la suite à partir d'un certain rang.

Le comportement de $q^{n}$ dépend de $q$ . Si $q > 1$ , la suite tend vers $+ \infty$ . Si $- 1 < q < 1$ , elle tend vers $0$ . Si $q = 1$ , elle est constante et vaut $1$ . Enfin, si $q \leq - 1$ , la suite diverge et n'a pas de limite.

Graphique 2D simple avec deux axes (n en abscisse, u_n en ordonnée). Une première courbe de points bleus représentant une croissance exponentielle qui monte très vite (q > 1). Une deuxième courbe de points rouges qui commence haut et descend doucement pour se rapprocher de l'axe des abscisses sans le toucher (0 < q < 1). Fond blanc, quadrillage léger. — Visualisons la différence entre une suite qui explose vers $+ \infty$ et une suite qui s'écrase vers $0$ .

Exemple :

u (n) = 3 \times 0, 5^{n}

. Ici

q = 0, 5

. Comme c'est entre

- 1

1

, la puissance tend vers

0

, donc

u (n)

aussi. Par contre,

v (n) = (- 2)^{n}

n'a pas de limite car

q

vaut

- 2

2. Opérations et formes indéterminées

Souvent, la limite d'une somme est la somme des limites. Si une suite tend vers $3$ et l'autre vers $+ \infty$ , leur somme tend vers $+ \infty$ . Mais parfois, le résultat n'est pas intuitif : ce sont les formes indéterminées.

Ne dis jamais que

\infty - \infty

vaut

0

! C'est une forme indéterminée (FI). Les 4 FI à connaître sont :

\infty - \infty

0 \times \infty

\frac{\infty}{\infty}

, et

\frac{0}{0}

Pour lever une indétermination

\infty - \infty

sur des polynômes, factorise par le terme de plus haut degré. Pour les fractions rationnelles (

\frac{\infty}{\infty}

), factorise numérateur et dénominateur par leurs termes dominants respectifs.

Pense aux croissances comparées : pour

n

grand, une suite géométrique (

q > 1

) l'emporte toujours sur une puissance de

n

. Par exemple,

2^{n}

croît beaucoup plus vite que

n^{2}

Soit

u (n) = n^{2} - n

. C'est une forme indéterminée. On factorise par

n^{2}

n^{2} (1 - \frac{1}{n})

. Comme

\frac{1}{n}

tend vers

0

, la parenthèse tend vers

1

. Le tout tend donc vers

+ \infty

3. Théorèmes de comparaison

Le théorème des gendarmes est intuitif : si ta suite $u (n)$ est coincée entre deux autres suites $v (n)$ et $w (n)$ qui convergent vers la même limite $L$ , alors $u (n)$ est obligée de converger aussi vers $L$ .

Schéma mathématique montrant trois courbes de points discrets. Une courbe verte en haut, une courbe rouge en bas, et une courbe bleue au milieu qui oscille. Les trois courbes se rejoignent et se touchent presque en un point unique sur la droite du graphique, illustrant la convergence vers une même limite. Annotation 'Gendarme' sur les courbes verte et rouge, 'Suite u_n' sur la bleue. — Ce schéma illustre l'encadrement d'une suite qui oscille par deux suites qui se resserrent.

Cherchons la limite de

\frac{s i n ( n )}{n}

. On sait que

- 1 < sin (n) < 1

. On divise tout par

n

(positif) :

- \frac{1}{n} < u (n) < \frac{1}{n}

. Les "gendarmes"

- \frac{1}{n}

\frac{1}{n}

tendent tous les deux vers

0

. Donc

u (n)

tend vers

0

Pour l'infini, on utilise la comparaison simple : si

u (n)

est plus grand que

v (n)

et que

v (n)

tend vers

+ \infty

, alors

u (n)

est poussée vers

+ \infty

par minoration.

4. Théorème de convergence monotone

Ce théorème sert souvent à prouver qu'une limite existe même si on ne connaît pas sa valeur. Si une suite est croissante mais bloquée par un plafond (majorée), elle doit forcément s'arrêter quelque part : elle converge.

Retiens ceci : Une suite croissante majorée converge. Une suite décroissante minorée converge.

Ne confonds pas la limite et le majorant ! Si une suite croissante est majorée par

10

, sa limite est

\leq 10

, mais ce n'est pas forcément

10

. La limite pourrait très bien être

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