Intersection d'une droite et d'un plan

Imagine une feuille de papier posée sur une table pour le plan et un stylo pour la droite. Soit ton stylo transperce la feuille en un point unique, soit il est parallèle à la feuille sans la toucher, soit il est posé à plat dessus. En géométrie, on cherche souvent à déterminer ce point d'impact unique.

Tu peux rapidement savoir si la droite est parallèle au plan. Calcule le produit scalaire entre le vecteur directeur de la droite et le vecteur normal du plan. Si ce produit scalaire vaut zéro, les vecteurs sont orthogonaux : la droite est donc parallèle au plan (ou incluse). Sinon, ils sont sécants.

Tu disposes d'une représentation paramétrique pour la droite (avec un paramètre $t$) et d'une équation cartésienne pour le plan (avec $x,y,z$). On cherche la valeur de $t$ pour laquelle le point de la droite appartient aussi au plan.

Résous l'équation pour trouver $t$. Si tu trouves un $t$ unique, la droite et le plan sont sécants en un point. Si tu obtiens une contradiction comme $0=5$, ils sont strictement parallèles. Si tu obtiens une identité toujours vraie comme $0=0$, la droite est incluse dans le plan.

On remplace $x,y$ et $z$ par $t$ dans l'équation du plan : $t+t+t-6=0$. Cela donne $3t-6=0$, soit $3t=6$. La solution est $t=2$.

On reporte $t=2$ dans la représentation paramétrique de la droite. On trouve $x=2$, $y=2$ et $z=2$. Le point d'intersection a donc pour coordonnées $(2;2;2)$.

On te demandera parfois de démontrer que la droite est orthogonale au plan. C'est un cas particulier où la droite est perpendiculaire au plan en leur point d'intersection.