Résoudre équations et inéquations avec $\ln$

Tu sais que la fonction exponentielle transforme un nombre en une valeur strictement positive. Mais comment faire le chemin inverse ? Si l'on te dit que $e^x$ vaut $5$, comment retrouver $x$ ? C'est le rôle du logarithme népérien, noté $\ln$.

Observe bien le graphique : la courbe n'existe que pour les abscisses strictement positives. C'est la règle absolue : on ne peut calculer le logarithme que d'un nombre strictement positif. $\ln (0)$ et $\ln (-2)$ n'existent pas.

Avant de résoudre une équation contenant $\ln (u(x))$, tu dois impérativement définir son ensemble de définition. Tu dois poser la condition : $u(x)>0$. C'est l'étape obligatoire pour éviter les erreurs logiques.

Premier type d'équation : $\ln (u(x))=\ln (v(x))$. La fonction $\ln$ étant strictement croissante, cela équivaut à $u(x)=v(x)$. On supprime simplement les logarithmes des deux côtés (après avoir validé le domaine).

Deuxième type : $\ln (u(x))=k$, où $k$ est un nombre réel. Ici, on utilise l'exponentielle pour "libérer" l'inconnue. On applique l'exponentielle à gauche et à droite, ce qui donne $u(x)=e^k$.

Avant de résoudre, simplifie les expressions avec les propriétés : $\ln (ab)=\ln (a)+\ln (b)$, $\ln \left(\frac{a}{b}\right)=\ln (a)-\ln (b)$ et surtout $\ln (a^n)=n\ln (a)$. Cela rend les calculs beaucoup plus simples.

Pour les inéquations (ex: $\ln (x)<2$), on utilise la stricte croissance de la fonction $\ln$. Elle conserve l'ordre des inégalités. Tu peux donc appliquer l'exponentielle sans changer le sens : $x<e^2$.