Équation cartésienne d'un plan

Imagine une feuille rigide flottant dans l'air. Pour définir son orientation, il suffit d'imaginer une flèche plantée perpendiculairement à sa surface. En maths, cette flèche qui dirige le plan s'appelle un vecteur normal.

Soit un plan passant par un point $A$ et de vecteur normal $\vec{n}$ (non nul). Dire qu'un point $M$ de l'espace appartient à ce plan signifie que le vecteur $\overrightarrow{AM}$ est orthogonal au vecteur $\vec{n}$.

Si le vecteur normal $\vec{n}$ a pour coordonnées $(a;b;c)$, l'équation du plan s'écrit $ax+by+cz+d=0$. Les coefficients $a$, $b$ et $c$ sont donc connus immédiatement grâce au vecteur.

Tu dois savoir faire l'inverse : extraire un vecteur normal depuis une équation. Pour $3x+2y-z+4=0$, on lit les coefficients devant $x$, $y$, $z$. Le vecteur normal est $\vec{n}(3;2;-1)$.

Pour vérifier si un point $B$ appartient au plan, remplace ses coordonnées dans l'équation. Si le calcul donne $0$, c'est gagné. Sinon, le point n'est pas sur le plan.

Si on te donne trois points non alignés $A$, $B$ et $C$, tu dois d'abord trouver un vecteur normal $\vec{n}(a;b;c)$. Ce vecteur doit être orthogonal à deux vecteurs directeurs du plan, par exemple $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.

Pose le système d'équations : $\vec{n}\cdot \overrightarrow{AB}=0$ et $\vec{n}\cdot \overrightarrow{AC}=0$. Cela te donne deux équations avec les inconnues $a$, $b$ et $c$.

Si l'équation n'a qu'une seule variable, le plan est parallèle à un plan de base. Par exemple, $z=5$ est un plan horizontal à la hauteur $5$ (parallèle au plan $(Oxy)$).