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Maîtriser la dérivée d'une fonction composée

Appliquer la formule de dérivation des fonctions composées pour des expressions de type f(u(x)). Maîtriser les dérivées des formes usuelles comme exp(u), racine(u) ou u à la puissance n.

Duree estimee : 20 min

Comprendre la structure d'une fonction composée

Bonjour ! En Terminale, tu vas souvent rencontrer des fonctions imbriquées les unes dans les autres, notées $v \circ u$ . C'est ce qu'on appelle des fonctions composées. Par exemple, une expression complexe à l'intérieur d'une racine, d'une exponentielle ou d'un logarithme.

Schéma simple en 2D sur fond blanc. À gauche, une entrée 'x' fléchée vers une boîte bleue nommée 'u'. La sortie est 'u(x)'. Cette sortie entre dans une boîte rouge nommée 'v'. La sortie finale à droite est 'v(u(x))'. — Imagine deux machines à la suite. Une première machine $u$ transforme $x$ en $u (x)$ . Ce résultat entre immédiatement dans une seconde machine $v$ pour donner $v (u (x))$ .

On note la composée

f (x) = v (u (x))

. Ton premier réflexe doit être d'identifier

u

(la fonction "dedans") et

v

(la fonction "dehors").

Prenons

f (x) = 3 x + 1

. Ici, la fonction à l'intérieur est

u (x) = 3 x + 1

. La fonction à l'extérieur qui s'applique au résultat est la racine carrée, donc

v (x) = x

La formule générale de dérivation

Pour dériver $f (x) = v (u (x))$ , tu ne peux pas simplement dériver $v$ . Tu dois aussi prendre en compte les variations de $u$ . La règle consiste à multiplier la dérivée de la fonction extérieure par la dérivée de la fonction intérieure.

La formule à retenir par cœur :

(v \circ u)^{'} = u^{'} \times (v^{'} \circ u)

. En écriture fonctionnelle :

f^{'} (x) = u^{'} (x) \times v^{'} (u (x))

Méthode infaillible : pose toujours par écrit au brouillon

u (x) = \dots

u^{'} (x) = \dots

v (x) = \dots

v^{'} (x) = \dots

avant d'assembler la formule.

L'oubli fatal : ne pas multiplier par

u^{'} (x)

! Si tu dérives

(3 x + 1)^{2}

, ce n'est pas juste

2 (3 x + 1)

, c'est

3 \times 2 (3 x + 1)

. N'oublie jamais le

u^{'}

en facteur.

Exp, Ln, Racine et Puissances

Voici les déclinaisons de la formule pour les fonctions que tu utilises le plus souvent au Bac.

Pour l'exponentielle : la dérivée de $exp (u)$ est $u^{'} \times exp (u)$ . C'est très simple : on réécrit l'exponentielle telle quelle et on place la dérivée de l'exposant devant.

f (x) = exp (5 x - 2)

, on a

u (x) = 5 x - 2

donc

u^{'} (x) = 5

. La dérivée est

f^{'} (x) = 5 exp (5 x - 2)

Pour le logarithme népérien : la dérivée de

ln (u)

est

\frac{u ^{'}}{u}

. (Valable là où

u (x)

est strictement positif).

Pour la racine carrée : la dérivée de

u

est

\frac{u ^{'}}{2 u}

Pour une puissance $n$ (entière relative) : la dérivée de $u^{n}$ est $n \times u^{'} \times u^{n - 1}$ . Cela fonctionne aussi pour les puissances négatives comme l'inverse $\frac{1}{u}$ (qui est $u^{- 1}$ ).

Les composées trigonométriques

Pour cosinus et sinus, la logique est la même : on dérive l'intérieur ( $u^{'}$ ) qu'on place devant, et on dérive la fonction trigo.

Dérivée de

cos (u) = - u^{'} sin (u)

. Dérivée de

sin (u) = u^{'} cos (u)

Dessin simple du cercle trigonométrique sur fond blanc. Le mot 'sin' est en haut, 'cos' à droite, '-sin' en bas, '-cos' à gauche. Une flèche courbe rouge tourne dans le sens horaire (aiguilles d'une montre) reliant sin vers cos, cos vers -sin, etc., avec une étiquette 'Dérivation'. — Retiens le sens de dérivation grâce au cercle trigonométrique.

Calculons la dérivée de

g (x) = cos (2 x + 3)

. Ici

u^{'} (x) = 2

. La dérivée de

cos

est

- sin

. On obtient

g^{'} (x) = - 2 sin (2 x + 3)

Attention au signe moins ! La dérivée de cosinus fait apparaître un signe négatif. Ne l'oublie pas, cela inverserait ton étude de variations.

Application : étudier les variations

L'objectif principal du calcul de dérivée est d'étudier les variations de la fonction. La forme factorisée obtenue avec ces formules (produit de $u^{'}$ et $v^{'}$ ) facilite grandement l'étude du signe.

Rappelle-toi que

exp (u)

est toujours strictement positive, tout comme

u

u^{2}

. Souvent, le signe de

f^{'} (x)

ne dépendra que du signe de

u^{'}

Soit

f (x) = exp (- x^{2})

. Sa dérivée est

f^{'} (x) = - 2 x exp (- x^{2})

. Comme l'exponentielle est toujours positive, le signe de

f^{'} (x)

est celui de

- 2 x

f

est donc croissante sur les réels négatifs et décroissante sur les positifs.

Tu sais maintenant dériver toutes les composées ! Identifie bien

u (x)

, calcule

u^{'} (x)

et applique la formule adaptée. À toi de t'exercer !

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