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Dénombrement : L'art de compter juste

L'élève doit calculer des nombres de combinaisons (k parmi n) et utiliser les principes additifs ou multiplicatifs pour dénombrer des ensembles finis.

Duree estimee : 20 min

1. Les principes additif et multiplicatif

Commençons par une situation simple. Imagine que tu es au restaurant et que le menu propose 3 entrées différentes et 4 plats principaux. Combien de menus uniques (entrée + plat) peux-tu composer ? Intuitivement, tu sens qu'il y a beaucoup de possibilités.

Schéma en arbre simple sur fond blanc. À gauche, 3 points verts étiquetés Entrée 1, Entrée 2, Entrée 3. De chaque point vert partent 4 flèches vers des points rouges à droite représentant les plats. Au total il y a 12 chemins visibles. — Regarde ce schéma en arbre. Pour chaque entrée choisie, quatre chemins s'ouvrent vers les plats. C'est la méthode de base pour visualiser un dénombrement.

C'est le principe multiplicatif. Si une expérience se déroule en plusieurs étapes successives (ici choisir l'entrée PUIS le plat), on multiplie le nombre de choix de chaque étape. Ici : $3 \times 4 = 12$ menus possibles.

Le principe additif s'utilise quand on a des choix disjoints (alternatives). Si tu dois choisir un dessert parmi 2 fruits OU 3 gâteaux, tu ne peux pas prendre les deux en même temps. Tu as donc $2 + 3 = 5$ choix au total.

Ne confonds pas les deux ! Demande-toi : les choix se cumulent-ils (ET = multiplication) ou s'excluent-ils (OU = addition) ? C'est la première question à se poser.

2. Quand l'ordre compte : Listes et Permutations

Prenons un cadenas à code de 4 chiffres (0 à 9). L'ordre est crucial :

1234 \neq = 4321

. De plus, on peut répéter les chiffres (exemple : 0000). C'est ce qu'on appelle une liste (ou

p

-uplet).

Pour former une liste de

k

éléments choisis parmi

n

possibilités (avec répétition), la formule est

n^{k}

Pour le cadenas : 10 choix possibles pour le premier chiffre, 10 pour le deuxième, etc. Pour 4 chiffres, cela fait $1 0^{4}$ , soit $10000$ combinaisons.

Maintenant, imagine que tu dois ranger 3 livres différents (A, B et C) sur une étagère. Tu utilises tous les éléments et tu ne peux pas les répéter. L'ordre change le résultat. C'est une permutation.

Dessin vectoriel simple d'un podium olympique avec les marches 1, 2 et 3. Trois personnages de couleurs différentes (bleu, rouge, jaune) sont prêts à monter dessus. Fond blanc épuré. — Visualise un podium de course. Il y a 3 places pour 3 coureurs distincts. Savoir qui est premier, deuxième ou troisième définit le résultat.

Pour ranger $n$ éléments distincts, on utilise la factorielle (notée $n!$ ). Pour 3 livres : $3 \times 2 \times 1 = 6$ possibilités. Pour 5 livres : $5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ .

3. Quand l'ordre ne compte pas : Les Combinaisons

Passons aux combinaisons. Imagine une grille de Loto où tu coches 5 numéros. Cocher le 2 puis le 15 revient exactement au même que cocher le 15 puis le 2. Ici, l'ordre n'a aucune importance.

Une combinaison est un sous-ensemble de

k

éléments parmi

n

. On la note

(k n)

ou '

k

parmi

n

La formule est : $\frac{n !}{k ! ( n - k )!}$ . C'est la formule reine du dénombrement en Terminale.

Exemple : Choisir 2 délégués dans une classe de 30 élèves. L'ordre d'élection ne compte pas pour former le binôme. On calcule donc

(2 30)

Le calcul revient à faire $\frac{30 \times 29}{2 \times 1}$ , ce qui donne $435$ binômes possibles. On divise par 2 car le binôme (Alice, Bob) est identique au binôme (Bob, Alice).

L'erreur classique est d'utiliser les combinaisons quand l'ordre compte (code secret, podium). Pose-toi la question : 'Si j'inverse deux éléments, est-ce que ça change le résultat ?' Si non, c'est une combinaison.

4. Propriétés et Triangle de Pascal

Les coefficients binomiaux sont symétriques. Choisir 2 élèves qui partent parmi 30 revient à choisir les 28 qui restent. Donc, $(k n)$ est égal à $(n - k n)$ .

Illustration du triangle de Pascal sur 5 lignes (n=0 à n=4). Les cases sont des carrés ou hexagones. Des flèches montrent que 1+2=3 ou 3+3=6. Les nombres sont écrits en noir sur fond clair. — Le Triangle de Pascal permet de trouver ces nombres sans formule compliquée pour de petites valeurs. Chaque nombre est la somme des deux nombres situés juste au-dessus de lui.

Cette propriété s'appelle la relation de Pascal : $(k n) + (k + 1 n) = (k + 1 n + 1)$ . Elle est très utile pour simplifier des calculs algébriques.

En résumé : identifie si l'ordre compte (Listes, Permutations) ou non (Combinaisons), puis applique la bonne formule avec les factorielles.

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