Maîtriser la convexité et la dérivée seconde

Pour repérer la convexité, observe la forme de la courbe. Une fonction convexe a une forme en creux, comme un bol ou un sourire. À l'inverse, une fonction concave forme une bosse, comme un pont ou un parapluie.

La définition mathématique précise repose sur les tangentes. Une fonction est convexe sur un intervalle si sa courbe est entièrement située au-dessus de ses tangentes. Elle est concave si la courbe est située en dessous.

Plutôt que de tracer des tangentes, on utilise le calcul. On définit la dérivée seconde, notée $f^{\prime \prime }$ ($f$ seconde), qui est simplement la dérivée de la fonction dérivée $f^{\prime }$.

C'est la règle fondamentale de ce chapitre : étudie le signe de $f^{\prime \prime }(x)$. Si $f^{\prime \prime }(x)$ est positive, $f$ est convexe. Si $f^{\prime \prime }(x)$ est négative, $f$ est concave.

Un point d'inflexion est l'endroit précis où la convexité change. La courbe traverse sa tangente en ce point. C'est le passage d'une forme en creux à une forme en bosse (ou l'inverse).

Étudions la convexité de la fonction $f$ définie par $f(x)=x^3-6x^2$.

3) Étude du signe de $f^{\prime \prime }(x)$ : on résout $6x-12>0$, ce qui donne $x>2$. La dérivée seconde est donc négative avant 2, et positive après 2.