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La Loi Binomiale : Comprendre et Calculer

Appliquer la formule donnant la probabilité d'obtenir exactement k succès lors de n épreuves de Bernoulli indépendantes. L'élève doit identifier les paramètres n et p et utiliser le coefficient binomial.

Duree estimee : 20 min

1. Reconnaître une situation de loi binomiale

Imagine que tu tires un penalty. Soit tu marques (Succès), soit tu rates (Échec). Si tu tires 5 penaltys de suite et que le résultat d'un tir n'influence pas les autres, tu es dans une situation idéale pour la loi binomiale.

Schéma simple à plat sur fond blanc : 5 cases carrées alignées horizontalement. Chaque case contient un ballon de foot identique. Une flèche courbe relie chaque case à la suivante pour montrer la répétition identique. — On visualise cela comme la répétition d'une même épreuve de Bernoulli (succès/échec) plusieurs fois.

Pour utiliser cette loi, vérifie trois conditions : 1) On répète $n$ fois la même épreuve. 2) Les épreuves sont indépendantes. 3) Il n'y a que deux issues (Succès de probabilité $p$ , et Échec de probabilité $1 - p$ ).

Si la variable aléatoire

X

compte le nombre de succès, on dit que

X

suit la loi binomiale notée

B (n, p)

Exemple : Tu lances 10 fois un dé pour obtenir un 6. Ici,

n = 10

(nombre de lancers). Le succès est 'avoir un 6', donc

p = 1/6

. Les lancers sont indépendants. C'est bien une loi

B (10, 1/6)

2. La formule pour $P(X = k)$

Calculons la probabilité d'obtenir exactement $k$ succès. La formule combine le nombre de chemins possibles dans l'arbre (le coefficient binomial) avec la probabilité des succès et celle des échecs.

La formule est : $P (X = k) = (k n) \times p^{k} \times (1 - p)^{n - k}$ . Le terme $(k n)$ compte de combien de façons on peut placer les $k$ succès parmi les $n$ essais.

Image pédagogique sur fond blanc montrant la formule décomposée en trois blocs colorés. Bloc 1 bleu : 'Coef binomial (k parmi n)'. Bloc 2 vert : 'Succès (p^k)'. Bloc 3 rouge : 'Échecs ((1-p)^(n-k))'. Des signes de multiplication relient les blocs. — Voici la structure de la formule à retenir.

Reprenons les penaltys : 5 tirs (

n = 5

), probabilité de marquer

p = 0, 8

. Pour calculer la probabilité de marquer exactement 3 buts (

k = 3

), on fait :

(3 5) \times 0, 8^{3} \times 0, 2^{2}

La calculatrice donne $(3 5) = 10$ . Le calcul devient : $10 \times 0, 512 \times 0, 04 = 0, 2048$ . Tu as donc environ $20, 5%$ de chances de marquer exactement 3 buts.

Attention ! N'oublie jamais le coefficient binomial

(k n)

. Sans lui, tu calcules la probabilité d'un seul chemin précis (par exemple 3 buts puis 2 ratés), et non de toutes les combinaisons possibles.

3. Cumul, Espérance et Écart-type

On te demandera souvent la probabilité d'avoir "au plus 3 succès" ( $P (X \leq 3)$ ) ou "au moins 1 succès" ( $P (X \geq 1)$ ). Ce sont des probabilités cumulées.

Ne calcule pas tout à la main ! Pour

P (X \leq k)

, utilise la fonction de ta calculatrice (souvent appelée BinomialCD, BinomialCdf ou Repartition). C'est indispensable pour gagner du temps.

Astuce pour "Au moins 1 succès" (

P (X \geq 1)

) : calcule

1 - P (X = 0)

. C'est beaucoup plus rapide que d'additionner toutes les autres probabilités.

Enfin, on s'intéresse aux valeurs moyennes et à la dispersion des résultats si on répétait l'expérience un grand nombre de fois.

À retenir : Espérance

E (X) = n \times p

. Variance

V (X) = n \times p \times (1 - p)

. L'écart-type est la racine carrée de la variance.

Pour un QCM de 20 questions (

n = 20

) avec 1 chance sur 4 de juste (

p = 0, 25

) :

E (X) = 20 \times 0, 25 = 5

. En répondant au hasard, on a en moyenne 5 bonnes réponses.

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