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Maîtriser les primitives de fonctions composées

L'élève doit identifier et calculer des primitives de fonctions composées, notamment celles de la forme u'u^n, u'/u ou u'e^u.

Duree estimee : 20 min

Le secret : reconnaître la dérivee de $u$

Imagine que tu es un détective. Tu as une fonction devant toi, et tu cherches qui l'a créée en la dérivant. Pour les fonctions composées, c'est comme défaire une chaîne. Tu te souviens que la dérivée de $f (u (x))$ fait apparaître $u^{'} (x)$ devant ? Pour trouver la primitive, tu dois faire l'inverse : repérer ce $u^{'} (x)$ caché.

Schéma simple sur fond blanc. À gauche, un cercle bleu nommé Primitive F(x). Une flèche courbe part vers la droite nommée Dérivation et pointe vers un cercle vert nommé Fonction f(x). Une flèche courbe part du cercle vert et revient vers le cercle bleu nommée Intégration. Dans le cercle vert, le texte u' * v'(u) est écrit en gros. — Regardons le schéma du lien entre une fonction composée et sa dérivée pour comprendre le chemin inverse.

La clé est de reconnaître la forme

u^{'} \times v^{'} (u)

. Si tu la vois, la primitive est

v (u)

Prenons

2 x (x^{2} + 1)^{3}

. Si on pose

u (x) = x^{2} + 1

, alors

u^{'} (x) = 2 x

. On a exactement la forme

u^{'} \times u^{3}

. On sait que la primitive de

u^{3}

serait

\frac{u ^{4}}{4}

. Donc ici, la primitive est

\frac{( x ^{2} + 1 ) ^{4}}{4}

Puissances et Logarithme : les formes classiques

La forme la plus courante est $u^{'} \times u^{n}$ . Que $n$ soit positif (comme $u^{3}$ ) ou négatif (comme $\frac{1}{u ^{3}}$ qui est $u^{- 3}$ ), la règle est la même. La primitive est $u^{n + 1}$ divisé par $(n + 1)$ . Cela marche pour tout entier $n$ sauf $- 1$ .

Le cas $n = - 1$ est spécial. Si tu as $\frac{u ^{'}}{u}$ (ce qui revient à $u^{'} \times u^{- 1}$ ), la règle des puissances ne marche pas car on diviserait par zéro. Dans ce cas, la primitive est $ln (∣ u ∣)$ . N'oublie pas la valeur absolue car l'intérieur du logarithme doit être positif.

Calculons la primitive de

f (x) = \frac{2 x}{x ^{2} + 3}

. Je pose

u = x^{2} + 3

. La dérivée est

u^{'} = 2 x

. J'ai bien la forme

\frac{u ^{'}}{u}

. Comme

x^{2} + 3

est toujours positif, la primitive est

F (x) = ln (x^{2} + 3)

Attention ! Si tu intègres

\frac{u ^{'}}{u}

et que

u

peut être négatif, tu DOIS écrire

ln (∣ u ∣)

. Par exemple, une primitive de

\frac{1}{x}

sur les réels négatifs est

ln (∣ x ∣)

(ou

ln (- x)

), et non juste

ln (x)

Exponentielles et Trigonométrie

Pour l'exponentielle, c'est facile : une primitive de

u^{'} \times e^{u}

est simplement

e^{u}

Soit

f (x) = 3 x^{2} e^{x^{3}}

. Si je pose

u = x^{3}

, alors

u^{'} = 3 x^{2}

. J'ai exactement

u^{'} e^{u}

. La primitive est donc

e^{x^{3}}

Pour le cosinus et le sinus, il faut repérer $u^{'}$ devant. Une primitive de $u^{'} \times cos (u)$ est $sin (u)$ . Une primitive de $u^{'} \times sin (u)$ est $- cos (u)$ .

Ne confonds pas dérivation et intégration pour les signes ! La primitive de

sin (x)

est

- cos (x)

. Pense au cercle trigonométrique : quand on primitive, on tourne dans le sens des aiguilles d'une montre.

L'art d'ajuster les coefficients

Souvent, on a la bonne fonction $u$ , mais le $u^{'}$ devant n'est pas parfait. Il manque une constante multiplicative. Pas de panique ! On a le droit de multiplier et diviser par une constante pour faire apparaître le $u^{'}$ exact.

Dessin épuré style scolaire. Une équation mathématique f(x) = x * e^(x^2). Une main dessine en rouge un '2' devant le x et un '1/2' tout devant l'expression pour équilibrer. Fond blanc. — Visualisons l'ajustement mathématique comme une balance qu'on équilibre.

Cherchons une primitive de

x (x^{2} + 1)^{5}

. Posons

u = x^{2} + 1

, donc

u^{'} = 2 x

. Mince, on a

x

mais on veut

2 x

. L'astuce : on écrit

x

comme

\frac{1}{2} \times 2 x

. La fonction devient

\frac{1}{2} \times (2 x (x^{2} + 1)^{5})

. Maintenant on a

\frac{1}{2} \times u^{'} u^{5}

. La primitive est

\frac{1}{2} \times \frac{u ^{6}}{6}

, soit

\frac{( x ^{2} + 1 ) ^{6}}{12}

Après avoir trouvé ta primitive, redérive-la mentalement au brouillon. Si tu ne retombes pas exactement sur la fonction de départ (souvent à cause d'un coefficient), c'est qu'il faut ajuster ta constante.

Trouver l'unique primitive

Rappelle-toi qu'une fonction admet une infinité de primitives, qui diffèrent toutes d'une constante

k

Si l'énoncé te donne une condition initiale, comme $F (0) = 2$ , tu peux trouver la valeur unique de $k$ . Calcule $F (0)$ avec ta formule contenant $+ k$ , pose l'égalité avec 2, et résous la petite équation pour trouver $k$ .

On a trouvé

F (x) = e^{x^{2}} + k

. On veut

F (0) = 3

. On calcule :

e^{0} + k = 3

, donc

1 + k = 3

, ce qui donne

k = 2

. La primitive unique est

F (x) = e^{x^{2}} + 2

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