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Droites parallèles et perpendiculaires

Connaître et utiliser les propriétés de base (ex: si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième...) pour déduire la position relative de droites sans support visuel.

Duree estimee : 20 min

Reconnaître et noter les droites

Imagine les rails d'un train : ils filent tout droit sans jamais se toucher, ils sont parallèles. Maintenant, imagine un carrefour où deux routes se croisent en formant un coin carré parfait (comme le coin d'une feuille), elles sont perpendiculaires. En géométrie, nous utilisons ces deux modèles pour décrire la position des droites.

Deux droites sont parallèles si elles ne se coupent jamais, même si on les prolonge à l'infini. Elles gardent toujours le même écartement. Pour dire que la droite $(d_{1})$ est parallèle à la droite $(d_{2})$ , on écrit : $(d_{1}) ∥ (d_{2})$ .

Deux droites sont perpendiculaires si elles se coupent en formant un angle droit (90 degrés). C'est l'angle précis du coin de ton équerre. On utilise le symbole $⊥$ (un T à l'envers) et on écrit : $(d_{1}) ⊥ (d_{2})$ .

Schéma géométrique simple sur fond blanc. À gauche, deux droites noires obliques nommées (d1) et (d2) strictement parallèles. À droite, deux droites (d3) et (d4) qui se croisent perpendiculairement avec un petit carré rouge codant l'angle droit à l'intersection. — Voici comment on code ces figures. Le petit carré rouge est très important : il prouve qu'il y a un angle droit.

Moyen mnémotechnique : le symbole

∥

ressemble aux rails du train (parallèles). Le symbole

⊥

ressemble aux routes qui se croisent (perpendiculaires).

Les propriétés pour raisonner

En géométrie, tes yeux ne suffisent pas car un dessin peut être imprécis. Pour prouver que des droites sont parallèles ou perpendiculaires, on utilise des propriétés. Ce sont des règles logiques qui fonctionnent à tous les coups.

Propriété 1 : Si deux droites sont perpendiculaires à la même troisième droite, alors elles sont parallèles entre elles.

Pense à une échelle : les deux grands montants sont perpendiculaires aux barreaux. C'est ce qui oblige les montants à être parallèles entre eux. Mathématiquement : si

(d_{1}) ⊥ (d_{3})

(d_{2}) ⊥ (d_{3})

, alors forcément

(d_{1}) ∥ (d_{2})

Propriété 2 : Si deux droites sont parallèles, alors toute droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.

Schéma explicatif. Deux droites bleues horizontales parallèles (d1) et (d2). Une droite rouge verticale (d3) coupe les deux. Un carré rouge marque l'angle droit sur (d1). Un point d'interrogation vert ou un carré rouge en pointillé apparaît sur l'intersection avec (d2). — Observe ce schéma : la droite rouge coupe la première droite bleue à angle droit. Comme les bleues sont parallèles, la rouge coupe aussi la deuxième à angle droit.

Attention au but de ta phrase ! La Propriété 1 sert à prouver que des droites sont PARALLÈLES. La Propriété 2 sert à prouver qu'il y a un ANGLE DROIT (perpendiculaires). Choisis la bonne règle selon ce que tu cherches.

Savoir tracer à la règle et l'équerre

Pour construire ces figures, l'équerre est l'outil principal car elle contient l'angle droit. La règle sert à tracer des traits droits et à prolonger les droites.

Pour tracer la perpendiculaire à

(d)

passant par un point

A

: 1) Pose un côté de l'angle droit de l'équerre sur la droite

(d)

. 2) Fais glisser l'équerre jusqu'à ce que l'autre côté touche le point

A

. 3) Trace le trait.

Pour tracer une parallèle, on utilise souvent la Propriété 1 (la technique de la double perpendiculaire). Trace d'abord une droite perpendiculaire légère (en pointillés) à ta droite de départ. Ensuite, trace une nouvelle perpendiculaire à ces pointillés. Cette dernière sera parallèle à la première !

Illustration étape par étape. 1. Une droite noire (d1). 2. Une équerre trace une droite pointillée (d') perpendiculaire à (d1). 3. L'équerre est déplacée pour tracer une droite rouge (d2) perpendiculaire à la pointillée (d'). Résultat : (d1) et (d2) sont parallèles. — Voici la méthode de la double perpendiculaire en image. La droite en pointillés sert de guide intermédiaire.

À retenir : l'équerre est la clé pour les angles droits, et les propriétés permettent de déduire si des droites sont parallèles ou perpendiculaires sans mesurer.

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