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La division euclidienne : sens et calcul

Écrire l'égalité fondamentale (dividende = diviseur × quotient + reste) en vérifiant que le reste est inférieur au diviseur. Interpréter le sens du quotient et du reste pour résoudre des problèmes de partage ou de groupement.

Duree estimee : 20 min

Une histoire de partage

Illustration colorée style dessin animé. Sur une table en bois, un tas de 23 bonbons rouges. Autour de la table, 4 enfants joyeux attendent avec les mains ouvertes. Aucun texte. — Imagine que tu dois partager équitablement des bonbons entre des amis.

Prenons un exemple. Tu as 23 bonbons (le total) et tu veux les distribuer à 4 amis. Tu dois donner le même nombre de bonbons à chacun jusqu'à ce que tu ne puisses plus faire de tour complet.

On cherche dans la table de 4 le résultat le plus proche de 23 sans le dépasser. C'est $4 \times 5$ qui fait 20. Tu donnes donc 5 bonbons à chacun. Il te reste 3 bonbons car $23 - 20 = 3$ .

Bravo, tu viens d'effectuer une division euclidienne sans t'en rendre compte !

Les 4 mots importants

En maths, chaque nombre a un nom précis. Le nombre total à partager (ici 23) s'appelle le dividende. Le nombre de parts ou de paquets (ici 4) s'appelle le diviseur.

Schéma simple d'une division posée (potence) sur un cahier à carreaux. À gauche le nombre 23 (dividende), à droite dans la potence le nombre 4 (diviseur). Sous le diviseur, le nombre 5 (quotient). En bas de la colonne de gauche, le nombre 3 (reste). Des flèches indiquent les noms : Dividende, Diviseur, Quotient, Reste. — Voici comment on pose cette opération avec la méthode de la potence.

Le résultat que chacun reçoit (ici 5) s'appelle le quotient. Ce qu'il reste à la fin et qu'on ne peut plus distribuer (ici 3) s'appelle le reste.

À retenir : Dividende (total), Diviseur (parts), Quotient (résultat), Reste (ce qu'il reste).

L'égalité de la division

Pour vérifier ton calcul, tu peux reconstruire le nombre de départ. Si tu reprends les 5 bonbons de tes 4 amis et que tu ajoutes les 3 restants, tu dois retrouver tes 23 bonbons.

L'égalité s'écrit toujours :

Dividende = (Diviseur \times Quotient) + Reste

Vérifions avec nos nombres :

23 = (4 \times 5) + 3

. Le calcul est juste car

4 \times 5

fait 20, et

20 + 3

fait bien 23.

Attention, il y a une règle absolue : le reste doit toujours être plus petit que le diviseur. Si ton reste est plus grand, c'est que tu peux encore distribuer des parts !

Résoudre des problèmes

Dans les problèmes, la division sert soit à partager une quantité, soit à faire des groupes (des paquets). Il faut bien lire la question pour comprendre le sens du quotient et du reste.

Exemple de groupement : Un fleuriste a 45 roses. Il veut faire des bouquets de 6 roses. Combien de bouquets peut-il faire ?

On cherche combien de fois 6 rentre dans 45. Dans la table de 6, le plus proche est $6 \times 7 = 42$ . Il reste 3 roses car $45 - 42 = 3$ . L'égalité est $45 = (6 \times 7) + 3$ .

Ici, le quotient (7) est le nombre de bouquets complets. Le reste (3) est le nombre de roses non utilisées.

Pour réussir, écris toujours l'égalité euclidienne puis fais une phrase réponse avec les bonnes unités.

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