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Vecteurs : Colinéarité et déterminant

Calculer les coordonnées de vecteurs dans un repère et utiliser le critère du déterminant (xy' - x'y) pour vérifier s'ils sont colinéaires.

Duree estimee : 20 min

Qu'est-ce que la colinéarité ?

Imagine deux trains sur des voies parfaitement parallèles. Peu importe s'ils vont à la même vitesse ou en sens inverse, leurs trajectoires ne se croiseront jamais. En mathématiques, on dit que leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

Schéma simple sur fond blanc. Deux flèches (vecteurs) horizontales noires, parallèles l'une au dessus de l'autre. La flèche du haut (u) mesure 2 cm et pointe vers la droite. La flèche du bas (v) mesure 6 cm et pointe vers la droite. Une troisième flèche (w) en dessous mesure 4 cm et pointe vers la gauche. — Regarde ces flèches : $u$ , $v$ et $w$ ont tous la même direction (l'horizontale), même s'ils n'ont pas la même longueur ou le même sens. Ils sont colinéaires.

Deux vecteurs $u$ et $v$ sont colinéaires s'ils ont la même direction. Mathématiquement, cela signifie qu'il existe un nombre réel $k$ tel que $v = k \times u$ . L'un est un multiple de l'autre.

Prenons

u (2; 3)

v (6; 9)

. Pour passer de

u

v

, on multiplie chaque coordonnée par 3 (car

2 \times 3 = 6

3 \times 3 = 9

). Ici

v = 3 u

, donc ils sont colinéaires.

Ne confonds pas direction et sens. Deux vecteurs peuvent être colinéaires même s'ils pointent dans des sens opposés (

k

est alors négatif). Exemple : si

w = - 2 u

w

u

restent colinéaires.

L'outil de vérification : le déterminant

Le coefficient $k$ n'est pas toujours facile à voir de tête. Pour vérifier la colinéarité à coup sûr, on utilise une formule magique : le déterminant.

Pour deux vecteurs

u (x; y)

v (x^{'}; y^{'})

, le déterminant se calcule ainsi :

x

multiplied par

y^{'}

moins

x^{'}

multiplié par

y

Schéma mathématique sur fond blanc. À gauche, un vecteur colonne u avec x en haut, y en bas. À droite, un vecteur colonne v avec x' en haut, y' en bas. Une flèche bleue relie x vers y'. Une flèche rouge relie x' vers y. Le texte au centre indique en gros : (x * y') - (x' * y). — Pour retenir la formule $x y^{'} - x^{'} y$ , visualise une croix (ou un gamma). On multiplie la première diagonale et on soustrait la deuxième.

La règle est simple : deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur déterminant vaut exactement $0$ . Sinon, ils ne le sont pas.

Pratiquons le calcul

Vérifions pour

u (4; 6)

v (- 2; - 3)

. Calcul du déterminant :

(4 \times - 3) - (- 2 \times 6)

. Cela donne

- 12 - (- 12)

, soit

- 12 + 12 = 0

. Le résultat est

0

, donc

u

v

sont colinéaires.

Essayons avec

u (1; 5)

v (2; 3)

. Calcul :

(1 \times 3) - (2 \times 5)

. Cela donne

3 - 10 = - 7

. Comme ce n'est pas égal à

0

, ils ne sont pas colinéaires.

Attention aux signes moins ! Dans la formule, il y a une soustraction obligatoire. Si tes coordonnées sont négatives, utilise des parenthèses pour ne pas te tromper.

Exercice classique : trouver

x

pour que

u (2; 3)

v (x; 6)

soient colinéaires. Pose l'équation 'déterminant = 0'. Ici :

(2 \times 6) - (3 \times x) = 0

. Donc

12 - 3 x = 0

, ce qui donne

x = 4

Applications : Droites et Points

En géométrie, la colinéarité est un outil puissant pour prouver deux configurations classiques : le parallélisme et l'alignement.

Pour démontrer que deux droites $(A B)$ et $(C D)$ sont parallèles, calcule les coordonnées des vecteurs $A B$ et $C D$ , puis vérifie s'ils sont colinéaires (déterminant nul).

Pour démontrer que trois points $A$ , $B$ et $C$ sont alignés, il suffit de prouver que les vecteurs $A B$ et $A C$ sont colinéaires. Comme ils partent du même point $A$ et ont la même direction, les points sont forcément sur la même droite.

Dessin géométrique simple sur fond blanc. Une droite noire oblique monte vers la droite. Sur cette droite, trois points sont marqués par des croix : A, B et C, dans cet ordre. Une flèche bleue représente le vecteur AB. Une flèche rouge, plus longue, part de A et va jusqu'à C (vecteur AC). Les deux flèches sont superposées sur la droite. — Regarde le schéma : les vecteurs $A B$ et $A C$ sont superposés sur la même droite support.

Résumé : Calcule

x y^{'} - x^{'} y

. Si ça fait

0

, c'est gagné : les vecteurs sont colinéaires, les droites parallèles ou les points alignés !

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