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Maîtriser les variations : fonctions carré et inverse

Connaître et utiliser le sens de variation des fonctions de référence sur des intervalles donnés pour comparer des images ou encadrer des valeurs sans calculatrice.

Duree estimee : 20 min

La fonction carré : une courbe en U

Commençons par une intuition simple. Si tu prends un nombre positif et que tu l'augmentes, son carré augmente ( $2^{2} = 4$ , $1 0^{2} = 100$ ). Mais attention, si tu prends un nombre négatif et que tu te rapproches de $0$ , son carré diminue (il passe de $100$ à $0$ ).

La fonction carré est paire :

x^{2}

(- x)^{2}

sont égaux. Sa courbe est symétrique par rapport à l'axe vertical des ordonnées.

Schéma mathématique simple sur fond blanc. Un repère orthonormé avec une parabole bleue (fonction y = x²) qui passe par l'origine. La courbe descend depuis la gauche, touche (0,0) et remonte vers la droite. Une ligne pointillée horizontale relie le point (-2, 4) et le point (2, 4) pour montrer la symétrie.

La fonction carré est strictement décroissante sur l'intervalle $] - \infty; 0]$ et strictement croissante sur $[0; + \infty [$ . Elle atteint son minimum en $0$ , qui vaut $0$ .

Attention pour comparer deux nombres négatifs ! L'ordre s'inverse. Si

a < b < 0

(par exemple

- 5 < - 2

), alors

a^{2} > b^{2}

(car

25 > 4

La fonction inverse : l'hyperbole

Imagine un gâteau à partager. Plus le nombre d'invités (

x

) est grand, plus la part de chacun (

\frac{1}{x}

) est petite. C'est le principe de la fonction inverse : quand

x

augmente,

\frac{1}{x}

diminue.

La fonction inverse est définie sur

R

privé de

0

(on ne divise jamais par zéro). Sa courbe s'appelle une hyperbole.

La fonction inverse est impaire : l'image de $- x$ est l'opposé de l'image de $x$ . Sa courbe est symétrique par rapport à l'origine du repère (le point $0$ ).

Schéma mathématique simple sur fond blanc. Un repère orthonormé avec une hyperbole rouge (fonction y = 1/x). Une branche est dans le quadrant en bas à gauche (nombres négatifs), l'autre dans le quadrant en haut à droite (nombres positifs). Les courbes longent les axes sans jamais les toucher.

La fonction inverse est strictement décroissante sur $] - \infty; 0 [$ et strictement décroissante sur $] 0; + \infty [$ . Elle descend sur chaque intervalle.

Ne dis jamais qu'elle est décroissante sur

R

entier ! Il y a une coupure en

0

. On ne peut pas comparer directement les variations entre un nombre négatif et un positif.

Résoudre des inéquations avec les courbes

Pour résoudre une inéquation comme $x^{2} < k$ ou $\frac{1}{x} > k$ , on utilise le graphique. On cherche pour quelles valeurs de $x$ (abscisses) la courbe est située en dessous ou au-dessus de la hauteur $k$ .

Résolvons

x^{2} < 4

. On sait que

2^{2} = 4

(- 2)^{2} = 4

. Comme la parabole est en dessous de la hauteur

4

entre ces deux valeurs, la solution est l'intervalle

] - 2; 2 [

Schéma mathématique simple sur fond blanc. Une parabole bleue (y=x²). Une ligne horizontale rouge traverse le graphique à la hauteur y=4. La partie de la parabole située en dessous de la ligne rouge est surlignée en vert. Sur l'axe horizontal, la zone entre -2 et 2 est coloriée en vert.

Résolvons

\frac{1}{x} > 2

. Pour que l'inverse soit très grand (plus grand que

2

x

doit être positif et très proche de zéro. La solution est l'intervalle

] 0; 0, 5 [

Au brouillon, trace rapidement la courbe et la ligne horizontale. Colorie la zone voulue pour ne pas te tromper dans l'intervalle solution.

En résumé : la fonction carré change de sens en

0

(décroissante puis croissante), alors que la fonction inverse est décroissante sur chacun de ses deux intervalles de définition.

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