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Résoudre des inéquations produits et quotients

Étudier le signe d'expressions factorisées ou rationnelles à l'aide d'un tableau de signes. L'objectif est de résoudre algébriquement des inéquations du type f(x) > 0 ou f(x) < 0.

Duree estimee : 20 min

L'intuition : la règle des signes

Bonjour ! Imagine deux nombres cachés dans des boîtes. Si je te dis que leur produit est positif, que peux-tu en déduire ? Soit ils sont tous les deux positifs, soit ils sont tous les deux négatifs.

Pour connaître le signe d'un produit ou d'une fraction, il suffit de connaître le signe de chaque facteur séparément.

En maths, résoudre $(x - 3) (x + 2) > 0$ revient à ce jeu. On cherche quand $(x - 3)$ et $(x + 2)$ ont le même signe. Pour organiser cela, on utilise un outil très efficace : le tableau de signes.

Le tableau de signes pour un produit

Rappel : une expression du type

a x + b

change de signe une seule fois, au moment où elle vaut zéro.

Pour étudier le signe de $(2 x - 4) (x + 3)$ , on trace un tableau. La première ligne liste les valeurs de $x$ importantes. Les lignes suivantes étudient le signe de chaque parenthèse. La dernière ligne donne le bilan avec la règle des signes.

Schéma épuré d'un tableau de signes vide. Première ligne pour x de moins l'infini à plus l'infini. Deux lignes intermédiaires pour les facteurs. Une ligne finale pour le produit. Traits noirs sur fond blanc. — Voici la structure type d'un tableau de signes.

Pour le signe de

a x + b

: regarde le coefficient

a

. Si

a

est positif, la fonction est croissante : on met des moins, le zéro, puis des plus.

Prenons

(x - 3) (x + 1) < 0

. Les valeurs qui annulent sont

3

- 1

. Dans le tableau, le produit est négatif entre

- 1

3

. La solution s'écrit sous forme d'intervalle :

S =] - 1; 3 [

Le piège des quotients (fractions)

Pour une fraction, la règle est la même : moins par moins donne plus. Mais attention, le dénominateur (en bas) ne doit jamais être égal à zéro.

Une valeur qui annule le dénominateur est une valeur interdite. Dans le tableau, on la signale par une double barre

∥

sur la ligne du résultat final.

Zoom sur une ligne de tableau mathématique. Un trait vertical rouge double (deux barres parallèles) traverse la ligne de bilan. Signes plus et moins de chaque côté. — La double barre bloque la division par zéro.

Résolvons

\frac{3 x + 6}{x - 5} \geq 0

. La valeur

5

est interdite (double barre). La valeur

- 2

annule le numérateur (zéro). On cherche le positif, donc la solution est

S =] - \infty; - 2] \cup] 5; + \infty [

. Note le crochet ouvert en

5

à cause de la valeur interdite.

La méthode générale : comparer à zéro

Parfois, l'inéquation n'est pas prête, comme dans $x (x + 1) < 2 x$ . On ne peut pas faire de tableau de signes tout de suite car on ne compare pas à zéro.

Ne divise surtout pas par

x

! Comme tu ne connais pas le signe de

x

, tu ne sais pas s'il faut changer le sens de l'inégalité (

<

>

La méthode : tout passer à gauche pour avoir un $0$ à droite. Cela donne $x (x + 1) - 2 x < 0$ . Ensuite, on factorise par $x$ pour obtenir $x (x - 1) < 0$ . Là, tu peux faire ton tableau !

En résumé : 1. Tout passer à gauche. 2. Factoriser ou mettre au même dénominateur. 3. Faire le tableau. 4. Écrire l'intervalle solution.

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