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Résoudre un système de deux équations

Résoudre par substitution ou par combinaison linéaire des systèmes de deux équations à deux inconnues. Interpréter le résultat comme le point d'intersection de deux droites.

Duree estimee : 20 min

Modéliser un problème : la boulangerie

Imagine une situation concrète : tu achètes 2 croissants et 3 pains au chocolat pour 5,50 €. Un autre client paie 5,25 € pour 1 croissant et 4 pains au chocolat. Comment retrouver le prix unitaire de chaque viennoiserie ?

Illustration vectorielle simple style plat sur fond blanc. À gauche, l'équation '2x + 3y = 5,50' à côté de 2 croissants et 3 pains au chocolat. À droite, l'équation 'x + 4y = 5,25' à côté de 1 croissant et 4 pains au chocolat. — On traduit cela en langage mathématique. En notant $x$ le prix du croissant et $y$ celui du pain au chocolat, on obtient deux égalités qui doivent être vraies en même temps.

C'est un système de deux équations linéaires à deux inconnues. Résoudre ce système, c'est trouver l'unique couple de nombres $(x; y)$ qui vérifie les deux égalités simultanément.

On note souvent le système avec une grande accolade à gauche regroupant les lignes

L_{1}

L_{2}

Méthode 1 : La substitution

Cette méthode est idéale quand une inconnue est facile à isoler (comme $x$ ou $y$ tout seul, sans coefficient devant). Le principe : on exprime une inconnue en fonction de l'autre dans la première équation, puis on l'injecte dans la seconde.

Exemple :

x + y = 5

(

L_{1}

) et

2 x - y = 4

(

L_{2}

). Dans

L_{1}

, on isole le

y

y = 5 - x

. On remplace ensuite ce

y

dans

L_{2}

2 x - (5 - x) = 4

. En résolvant cette équation (

3 x - 5 = 4

), on trouve

3 x = 9

, donc

x = 3

Attention aux parenthèses ! En remplaçant

y

par

(5 - x)

, tu dois impérativement mettre des parenthèses. Sans elles, tu risques une erreur de signe en développant, surtout s'il y a un "moins" devant.

Il ne faut pas s'arrêter là ! Une fois $x$ trouvé (ici $3$ ), on le remplace dans l'expression isolée au début ( $y = 5 - x$ ) pour trouver la deuxième inconnue : $y = 5 - 3 = 2$ . La solution est le couple $(3; 2)$ .

Méthode 2 : La combinaison (addition)

Cette méthode est efficace quand les coefficients sont plus complexes. L'objectif est de multiplier une ligne (ou les deux) par un nombre pour que les coefficients d'une inconnue deviennent opposés (exemple : $3 x$ et $- 3 x$ ).

Soit :

2 x + 3 y = 10

(

L_{1}

) et

4 x + 2 y = 12

(

L_{2}

). Pour éliminer les

x

, on multiplie

L_{1}

par

- 2

. Elle devient

- 4 x - 6 y = - 20

. On l'additionne ensuite à

L_{2}

. Les

x

s'annulent (

- 4 x + 4 x = 0

) et il reste

- 4 y = - 8

, ce qui donne

y = 2

Une fois une inconnue trouvée, tu peux la remplacer dans n'importe laquelle des deux équations de départ pour trouver l'autre. Choisis la plus simple !

Schéma mathématique montrant l'addition posée de deux équations comme une addition à l'école primaire. La ligne '-4x - 6y = -20' est au-dessus de '4x + 2y = 12'. Un trait horizontal de somme, et en dessous le résultat '0x - 4y = -8' est mis en évidence. — Visualise l'addition des lignes comme une opération verticale où les termes de même famille s'ajoutent.

Interprétation et vérification

Chaque équation d'un système correspond à l'équation d'une droite. Résoudre le système algébriquement revient à chercher les coordonnées du point d'intersection de ces deux droites.

Graphique sur fond quadrillé. Deux droites de couleurs différentes (rouge et bleue) se coupent nettement en un point M. Une étiquette indique 'Point d'intersection = Solution du système'. — Si les droites sont sécantes, il y a une solution unique (le point de croisement). Si elles sont parallèles, il n'y a pas de solution (ou une infinité si elles sont confondues).

Pour vérifier ton calcul, remplace

x

y

par tes résultats dans les deux équations initiales. L'égalité doit être vraie pour les deux ! Si ça ne marche que pour une seule, il y a une erreur.

En résumé : modéliser, choisir la bonne méthode (substitution ou combinaison), calculer le couple

(x; y)

et vérifier.

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