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Probabilités : Union, Intersection et Événement Contraire

Calculer la probabilité d'une réunion d'événements en utilisant la formule P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A inter B). L'élève doit aussi maîtriser la notion d'événement contraire.

Duree estimee : 20 min

1. Comprendre l'Union et l'Intersection

Imagine une classe de 30 élèves. 10 font du foot et 8 font de la musique. Si on additionne $10 + 8$ , on trouve 18. Mais est-ce le vrai nombre d'élèves concernés ?

Pas forcément ! Si certains élèves font les deux activités, tu les as comptés deux fois. Pour avoir le bon compte, il faut comprendre comment les groupes se croisent.

Schéma pédagogique simple sur fond blanc type diagramme de Venn. Deux cercles se chevauchent au centre. Le cercle de gauche est bleu (étiqueté 'Foot'), celui de droite est rouge (étiqueté 'Musique'). La zone centrale d'intersection est violette. — Le diagramme de Venn aide à visualiser la situation. La zone au milieu représente ceux qui font les deux.

L'intersection (notée

A \cap B

) signifie "A ET B" en même temps. La réunion (notée

A \cup B

) signifie "A OU B" (au moins l'un des deux).

2. La formule fondamentale

Si on calcule $P (A) + P (B)$ , on compte l'intersection deux fois (une fois dans $A$ , une fois dans $B$ ). Pour corriger cela, il faut retirer une fois l'intersection.

La formule à connaître par cœur :

P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)

Exemple : Dans un jeu de 32 cartes, on tire une carte.

A =

"Cœur" (8 cartes),

B =

"Dame" (4 cartes). L'intersection "Dame de Cœur" est une seule carte

(\frac{1}{32})

Calculons la probabilité d'avoir un Cœur OU une Dame : $P (A \cup B) = \frac{8}{32} + \frac{4}{32} - \frac{1}{32} = \frac{11}{32}$ . Il y a 11 chances sur 32.

Attention : En maths, "OU" inclut la possibilité d'avoir les deux. Ce n'est pas comme "Fromage ou Dessert" au restaurant où il faut choisir.

3. Les événements incompatibles

Deux événements sont incompatibles (ou disjoints) s'ils ne peuvent pas se produire en même temps. Leur intersection est vide.

Si tu lances un dé, tu ne peux pas obtenir un 2 et un 5 en même temps. Ce sont des événements incompatibles.

Schéma simple sur fond blanc. Deux cercles de couleur différente (un vert, un orange) posés côte à côte sans se toucher. Aucun chevauchement. Étiquette 'Incompatibles'. — Sur un schéma, les cercles sont séparés : ils n'ont aucune zone commune.

Pour des événements incompatibles,

P (A \cap B) = 0

. La formule se simplifie alors :

P (A \cup B) = P (A) + P (B)

4. L'événement contraire

L'événement contraire de $A$ (noté avec une barre au-dessus, $\overline{A}$ ) rassemble toutes les issues où $A$ ne se réalise pas. Ensemble, $A$ et $\overline{A}$ représentent $100%$ des cas.

Comme la somme des probabilités vaut

1

, on a la relation :

P (\overline{A}) = 1 - P (A)

C'est une astuce puissante : si calculer

P (A)

est trop long (beaucoup de cas), calcule

P (\overline{A})

(moins de cas) et soustrais le résultat à

1

Exemple : On lance un dé. Quelle est la probabilité de NE PAS faire un 6 ? Au lieu de compter 1, 2, 3, 4, 5, on fait :

1 - P (6) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}

En résumé : pense au diagramme de Venn pour l'Union (ne compte pas deux fois l'intersection !) et à la soustraction par 1 pour l'événement contraire.

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