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Parité d'une fonction : Paire ou Impaire ?

Déterminer algébriquement si une fonction est paire, impaire ou ni l'un ni l'autre en calculant f(-x). L'élève doit savoir manipuler les signes et les puissances dans les expressions littérales.

Duree estimee : 20 min

Intuition : Une histoire de symétrie

Certaines courbes ont une forme très régulière. Imagine que l'axe vertical est un miroir : si la courbe se reflète exactement de l'autre côté, c'est une fonction paire. Si la courbe fait un demi-tour autour de l'origine, c'est une fonction impaire.

Schéma pédagogique simple divisé en deux. À gauche : parabole rouge (fonction carré) symétrique par rapport à l'axe vertical Y. À droite : courbe verte en S (fonction cube) symétrique par rapport au point central O (0,0). Fond blanc, traits noirs nets. — Observe bien ces deux symétries : à gauche l'effet miroir (Paire), à droite la symétrie centrale (Impaire).

Géométrie : Paire = Symétrie par rapport à l'axe des ordonnées. Impaire = Symétrie par rapport à l'origine.

La fonction Paire : L'effet miroir

Une fonction est "paire" si le signe moins "disparaît" quand on l'injecte dans la fonction. Algébriquement, l'image de $- x$ est identique à l'image de $x$ .

Définition algébrique à savoir par cœur :

f (- x) = f (x)

Exemple avec

f (x) = x^{2} + 1

. Calculons

f (- x)

en remplaçant

x

par

(- x)

. Cela donne :

(- x)^{2} + 1

. Comme le carré absorbe le signe moins, on retrouve

x^{2} + 1

. Donc

f (- x) = f (x)

Astuce : Si un polynôme ne contient que des puissances paires de

x

(

x^{2}

x^{4}

) et des constantes, la fonction est généralement paire.

Attention aux parenthèses ! Tu dois écrire

(- x)^{2}

et non

- x^{2}

. Le carré s'applique à tout le bloc

(- x)

, donc le signe moins devient plus.

La fonction Impaire : La symétrie centrale

Une fonction est "impaire" si le signe moins "sort" de la fonction. L'image de $- x$ devient l'opposé de l'image de $x$ .

Définition algébrique à savoir par cœur :

f (- x) = - f (x)

Exemple avec

f (x) = 2 x^{3}

. Calculons

f (- x) = 2 (- x)^{3}

. Le cube conserve le signe moins, donc

(- x)^{3} = - x^{3}

. Résultat :

- 2 x^{3}

, ce qui est bien l'opposé de

f (x)

Graphique épuré de la fonction inverse f(x)=1/x dans un repère orthonormé. Deux branches d'hyperbole bleues symétriques par rapport à l'origine. Un pointillé rouge montre la symétrie centrale entre (1,1) et (-1,-1). — La fonction inverse ( $\frac{1}{x}$ ) est aussi une référence impaire. Regarde la symétrie par rapport au centre $0$ .

Méthode infaillible et pièges

La méthode : 1. Vérifie que l'ensemble de définition est centré en $0$ (si $x$ existe, $- x$ doit exister aussi). 2. Calcule $f (- x)$ en mettant des parenthèses autour de $- x$ . 3. Simplifie. 4. Compare le résultat avec $f (x)$ et $- f (x)$ .

Testons

f (x) = x^{2} + x

f (- x) = (- x)^{2} + (- x) = x^{2} - x

. Ce n'est pas

f (x)

(car on a

- x

) et ce n'est pas

- f (x)

(qui serait

- x^{2} - x

). Conclusion : ni paire, ni impaire !

Attention : La plupart des fonctions ne sont ni paires ni impaires. Si le calcul ne donne ni

f (x)

- f (x)

, conclus simplement "Ni l'un ni l'autre".

En résumé :

f (- x) = f (x)

c'est Paire.

f (- x) = - f (x)

c'est Impaire. Sinon, c'est une fonction quelconque.

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