Cours gratuit

Ensembles de nombres et intervalles

Classifier un nombre donné dans le plus petit ensemble auquel il appartient. L'élève doit distinguer notamment les nombres décimaux des rationnels non décimaux et des irrationnels.

Duree estimee : 30 min

1. Les nombres entiers ($N$ et $Z$)

Imagine des boîtes de rangement qui s'emboîtent les unes dans les autres, comme des poupées russes. Chaque boîte correspond à un ensemble de nombres plus grand que le précédent. Nous allons apprendre à ranger n'importe quel nombre dans la plus petite boîte possible.

La plus petite boîte est l'ensemble $N$ (Entiers Naturels). Ce sont les nombres positifs sans virgule que tu utilises pour compter : $0, 1, 2, 3, 100...$

La boîte juste autour s'appelle $Z$ (Entiers Relatifs). Elle contient tout l'ensemble $N$ , plus les nombres entiers négatifs comme $- 1$ , $- 5$ ou $- 20$ . C'est l'ensemble utile pour les températures négatives.

Schéma diagramme de Venn simple. Un cercle bleu étiqueté N contient 0, 3, 12. Ce cercle est inclus dans un cercle plus grand rouge étiqueté Z, qui contient dans la zone rouge (hors du bleu) les nombres -2, -5. Fond blanc. — Regarde ce schéma : l'ensemble $N$ est entièrement contenu à l'intérieur de l'ensemble $Z$ .

Comme

N

est dans

Z

, on dit que

N

est inclus dans

Z

. On note cela :

N \subset Z

2. Décimaux et Rationnels ($D$ et $Q$)

L'ensemble $D$ désigne les nombres décimaux. Ce sont les nombres qui s'arrêtent après la virgule (nombre fini de chiffres). On peut aussi les écrire sous forme de fraction avec 10, 100 ou 1000 au dénominateur.

Exemples :

1, 5

est décimal.

\frac{1}{4}

est aussi un décimal car il vaut

0, 25

. Ils appartiennent à

D

L'ensemble $Q$ est celui des nombres rationnels. Il contient tous les nombres qui peuvent s'écrire comme une fraction (un entier divisé par un entier non nul).

Attention : toutes les fractions ne sont pas décimales ! Par exemple,

\frac{1}{3}

vaut environ

0, 333...

avec une infinité de 3. Ce nombre appartient à

Q

, mais pas à

D

Si la partie décimale s'arrête, c'est

D

. Si elle est infinie mais périodique (des chiffres se répètent), c'est

Q

3. Les Réels ($R$) et les Irrationnels

Il existe des nombres qu'on ne peut pas écrire sous forme de fraction. On les appelle les nombres irrationnels. Ils ont une infinité de chiffres après la virgule sans répétition logique.

Les plus célèbres sont le nombre Pi (

π

) et la racine carrée de 2 (

2

). Ils n'appartiennent ni à

N

, ni à

Z

, ni à

D

, ni à

Q

L'ensemble $R$ (les Réels) est la plus grande boîte. Il regroupe TOUS les nombres vus jusqu'ici : entiers, décimaux, fractions et irrationnels. Il remplit toute la droite numérique.

Diagramme d'Euler avec 5 ovales emboîtés. Au centre N, entouré par Z, puis D, puis Q, et enfin R englobant le tout. Couleurs distinctes et douces. — Voici le classement complet. Chaque ensemble est inclus dans le suivant : $N \subset Z \subset D \subset Q \subset R$ .

4. Méthode : Classifier un nombre

Astuce : Avant de donner l'ensemble d'un nombre, simplifie-le ou calcule-le !

Prenons

36

. Cela vaut

6

, donc c'est un entier naturel (

N

). Prenons

- 3, 5

. C'est un décimal, il appartient à

D

Q

R

. Le plus petit ensemble auquel il appartient est

D

Pour dire qu'un nombre '

x

' est dans un ensemble '

A

', on utilise le symbole d'appartenance

\in

. Exemple :

- 2 \in Z

5. Droite réelle et Intervalles

Un intervalle est un morceau continu de la droite des réels. On utilise des crochets pour dire si on inclut ou non les bornes (les nombres aux extrémités).

L'encadrement $2 \leq x \leq 5$ signifie que $x$ est compris entre $2$ et $5$ inclus. On note cela $x \in [2; 5]$ . Les crochets sont fermés (tournés vers les nombres) pour les garder.

Si l'inégalité est stricte (comme

2 < x < 5

), on exclut les bornes. Les crochets sont ouverts (tournés vers l'extérieur) :

] 2; 5 [

Deux droites graduées l'une sous l'autre. La première montre un segment rouge de 2 à 5 avec des crochets fermés [ ]. La deuxième montre le même segment mais avec des crochets ouverts ] [ aux extrémités. — Visualise la différence entre $[2; 5]$ (fermé) et $] 2; 5 [$ (ouvert) sur la droite graduée.

6. Intersection et Réunion

L'intersection de deux intervalles, notée $\cap$ , correspond à la zone commune aux deux. C'est l'ensemble des nombres qui sont à la fois dans le premier ET dans le deuxième.

Si on a l'intervalle

I = [- 2; 4]

J = [0; 6]

. Les nombres communs sont entre

0

4

. Donc

I \cap J = [0; 4]

La réunion, notée $\cup$ , rassemble tout le monde. C'est l'ensemble des nombres qui sont dans le premier OU dans le deuxième (ou les deux).

Avec les mêmes intervalles :

[- 2; 4] \cup [0; 6]

. On met tout bout à bout, cela donne l'intervalle

[- 2; 6]

À retenir :

\cap

(Inter) pour "et" (commun).

\cup

(Union) pour "ou" (tout rassembler).

Entraînement officiel

Prêt à relever le Défi 5?

Mets tes nouvelles connaissances à l'épreuve : survis aux 10 questions du chapitre avec 5 vies et 20 secondes par manche !

LANCER LE DÉFI 5