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Cours gratuit

Intersection et réunion d'intervalles

Déterminer l'ensemble résultant de l'intersection ou de la réunion de deux intervalles de nombres réels donnés.

Duree estimee : 20 min

Rappel : Qu'est-ce qu'un intervalle ?

Imagine une route droite. Si tu es garé entre le kilomètre 2 et le kilomètre 5, ta position est comprise entre et . En maths, on dit que appartient à l'intervalle et on note .

Schéma simple d'une droite graduée horizontale noire. Les graduations vont de 0 à 8. Un segment épais rouge est tracé sur la droite, commençant exactement à la graduation 2 et finissant à la graduation 5. Des crochets rouges aux bornes 2 et 5 sont tournés vers l'intérieur du segment rouge.
Visuellement, on représente cet intervalle en coloriant la zone entre et sur la droite des nombres.
Crochets fermés : le nombre est inclus ( ou ). Crochets ouverts : le nombre est exclu ( ou ).
Astuce de la main : imagine le crochet comme une main. Si elle attrape le nombre (tournée vers lui), il est pris. Si elle lui tourne le dos (tournée vers l'extérieur), il est rejeté.

L'intersection : le terrain d'entente

Imagine que tu es libre de 14h à 18h et ton ami de 16h à 20h. Pour vous voir, vous devez trouver le créneau commun : de 16h à 18h. En maths, c'est l'intersection.

L'intersection correspond aux nombres qui sont dans le premier ET dans le deuxième intervalle. On ne garde que la zone commune. Le symbole est (comme un pont).

Prenons et . On cherche . La zone où les deux intervalles se superposent commence à et s'arrête à . Donc .
Schéma d'une droite graduée horizontale de -3 à 7. Un trait bleu est tracé au-dessus de la droite de -2 à 4. Un trait rouge est tracé un peu plus bas de 1 à 6. La zone de chevauchement entre 1 et 4 est mise en évidence par une couleur violette ou des hachures.
Voici l'intersection en image. Regarde bien la zone violette où les deux couleurs se mélangent.
Attention, l'intersection n'est pas une addition ! On ne met pas tout ensemble, on sélectionne uniquement ce qui est en double (la partie commune).

La réunion : tout le monde est invité

Pour une fête, tu invites tes amis et ton frère invite les siens. La réunion, c'est la liste totale des invités, qu'ils viennent de ta part OU de celle de ton frère.

La réunion contient tous les nombres qui sont dans le premier OU dans le deuxième intervalle (ou les deux). On rassemble tout. Le symbole est (comme un U pour Union).

Reprenons et . Comme ils se chevauchent, la réunion forme un seul grand intervalle qui va du tout début () jusqu'à la toute fin (). Résultat : .
Schéma d'une droite graduée. Un segment bleu couvre l'intervalle [-4 ; -1]. Un espace vide sépare cet intervalle du suivant. Un segment rouge couvre l'intervalle [2 ; 5]. Rien ne relie les deux segments.
Si les intervalles ne se touchent pas, on ne peut pas les fusionner. On écrit juste le symbole entre les deux.
Ne confonds pas ! Si tu as et , n'écris surtout pas . Cela inclurait et qui ne sont pas invités. La réponse correcte reste .

Cas particuliers et Bilan

Si on cherche l'intersection de deux intervalles qui ne se touchent pas (ex: et ), il n'y a aucun nombre en commun. La réponse est l'ensemble vide, noté .

Résumé : Intersection () = ET (zone commune). Réunion () = OU (tout le monde). Ensemble vide () = rien en commun.
Conseil d'expert : dessine toujours une droite graduée au brouillon avec deux couleurs (une par intervalle). La réponse apparaîtra directement sous tes yeux !

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