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Droites : Équation cartésienne et vecteur directeur

Identifier et déterminer un vecteur directeur à partir d'une équation cartésienne de la forme ax + by + c = 0, et inversement. Le topic exclut la lecture graphique pour se concentrer sur le lien algébrique.

Duree estimee : 20 min

1. Comprendre l'idée : Direction et trajectoire

Imagine que tu te promènes dans un parc. Pour définir une trajectoire rectiligne, tu as besoin d'un point de départ et d'une direction à suivre. En mathématiques, une droite fonctionne exactement de la même manière.

La direction est donnée par un vecteur directeur. C'est un vecteur parallèle à la droite qui donne le cap. N'importe quel vecteur non nul parallèle à la droite est un vecteur directeur.

Schéma mathématique clair sur fond blanc. Un repère orthonormé avec une droite bleue. Un point A est marqué sur la droite. Un vecteur rouge nommé 'u' est dessiné sur la droite partant de A, indiquant la direction. — Sur ce schéma, la droite $D$ passe par le point $A$ et suit la direction du vecteur $u$ .

2. Trouver le vecteur directeur depuis l'équation

Une droite possède une carte d'identité algébrique appelée équation cartésienne, de la forme $a x + b y + c = 0$ . Il existe une méthode rapide pour extraire un vecteur directeur $u$ directement depuis cette équation.

Pour l'équation

a x + b y + c = 0

, un vecteur directeur est

u (- b; a)

Prenons l'équation

2 x - 3 y + 5 = 0

. Ici,

a

vaut

2

b

vaut

- 3

. On applique la formule

u (- b; a)

. L'abscisse est l'opposé de

b

(

- (- 3) = 3

). L'ordonnée est

a

(

2

). Le vecteur directeur est donc

u (3; 2)

Attention aux signes ! Si

b

est négatif dans l'équation (comme

- 3 y

), son opposé

- b

devient positif. Identifie bien

a

b

avec leur signe avant d'appliquer la formule.

3. Trouver l'équation avec un point et un vecteur

Faisons l'inverse. Tu connais un point $A$ et un vecteur directeur $u$ , et tu cherches l'équation. On utilise la formule $u (- b; a)$ à l'envers : l'ordonnée du vecteur te donne $a$ , et son abscisse te donne $- b$ .

Soit

A (1; 2)

et le vecteur

u (- 4; 3)

. On identifie

u (- b; a)

. Donc

a = 3

- b = - 4

(ce qui signifie

b = 4

). L'équation commence par

3 x + 4 y + c = 0

. Il reste à trouver

c

Pour trouver

c

, utilise le fait que le point

A

appartient à la droite. Remplace

x

y

par les coordonnées de

A

dans ton début d'équation, puis résous pour trouver

c

Avec $3 x + 4 y + c = 0$ et $A (1; 2)$ , cela donne : $3 (1) + 4 (2) + c = 0$ . Soit $3 + 8 + c = 0$ , donc $11 + c = 0$ . On trouve $c = - 11$ . L'équation finale est $3 x + 4 y - 11 = 0$ .

4. Équation d'une droite passant par deux points

Si on te donne deux points $A$ et $B$ sans vecteur, tu dois d'abord fabriquer ton propre vecteur directeur pour retrouver la méthode précédente.

Calcule les coordonnées du vecteur $A B (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A})$ . Ce vecteur $A B$ joue le rôle de vecteur directeur $u$ . Ensuite, tu appliques la méthode de la section 3 en utilisant le point $A$ (ou $B$ ) pour trouver $c$ .

Schéma géométrique simple. Deux points A et B marqués par des croix sur une droite oblique. Un vecteur fléché coloré relie A vers B sur la droite. — Le vecteur formé par les deux points sert de guide pour toute la droite.

5. Positions relatives et vérification

Pour comparer deux droites, regarde leurs vecteurs directeurs. S'ils sont colinéaires (déterminant nul), les droites sont parallèles. Sinon, elles sont sécantes et se croisent en un point unique.

Rappel : deux vecteurs

u (x; y)

v (x^{'}; y^{'})

sont colinéaires si

x y^{'} - y x^{'} = 0

Enfin, pour vérifier si un point est sur une droite, remplace $x$ et $y$ dans l'équation par les coordonnées du point. Si le résultat vaut $0$ , le point appartient à la droite.

Tu as maintenant tous les outils. Souviens-toi toujours de la clé

u (- b; a)

pour passer de l'équation au vecteur et inversement !

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