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Volumes : Pyramide et Cône

Connaître et utiliser les formules de volume pour la pyramide et le cône de révolution. Effectuer des calculs avec des grandeurs mesurables.

Duree estimee : 25 min

Le secret du diviser par 3

Imagine une boîte en forme de cube et une pyramide qui a exactement la même base carrée et la même hauteur. Si tu remplis la pyramide d'eau et que tu la verses dans le cube, tu devras le faire exactement trois fois pour remplir le cube.

Schéma 3D pédagogique. À gauche, un cube transparent rempli d'eau bleue. À droite, trois pyramides transparentes vides (même base et hauteur que le cube). Une flèche montre que le contenu du cube remplit exactement les trois pyramides. — Regarde bien le rapport de volume entre le prisme (cube) et la pyramide.

Pour calculer le volume d'une pyramide ou d'un cône, on calcule le volume du prisme correspondant

(Base \times Hauteur)

et on divise par 3.

Calculer le volume d'une pyramide

Tu dois d'abord calculer l'aire de la base (carré, rectangle ou triangle). Ensuite, multiplie cette aire par la hauteur de la pyramide. Enfin, divise le résultat par 3.

Formule :

Volume = \frac{Aire de la base \times Hauteur}{3}

Soit une pyramide à base carrée de côté 4 cm et de hauteur 6 cm.

Aire de la base = 4 \times 4 = 16 cm^{2}

Volume = \frac{16 \times 6}{3} = \frac{96}{3} = 32 cm^{3}

Ne confonds pas la hauteur de la pyramide avec la longueur d'une arête sur le côté ! La hauteur tombe toujours perpendiculairement au centre de la base.

Dessin géométrique d'une pyramide à base carrée. La hauteur est une ligne rouge en pointillés partant du sommet jusqu'au centre de la base avec un symbole d'angle droit. Une arête latérale est en noir pour montrer la différence. — Voici comment bien repérer la hauteur.

Calculer le volume d'un cône

Le cône fonctionne comme la pyramide, mais sa base est un disque. Calcule l'aire du disque $(π \times rayon^{2})$ , multiplie par la hauteur, puis divise par 3.

Formule du cône :

V = \frac{π \times rayon ^{2} \times hauteur}{3}

Pour un cône de rayon 3 cm et hauteur 10 cm : on calcule

π \times 3^{2} \times 10 = 90 \times π

. En divisant par 3, on obtient le volume exact

30 \times π cm^{3}

, soit environ

94, 2 cm^{3}

Sur ta calculatrice, utilise la touche

π

pour garder la précision tout au long du calcul et n'arrondis qu'à la toute fin.

Aller plus loin : Pythagore et Échelles

Parfois, on te donne le rayon et la longueur du côté en pente (génératrice), mais pas la hauteur. Utilise le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle formé par la hauteur, le rayon et le bord du cône pour trouver la hauteur.

Coupe d'un cône. Un triangle rectangle est surligné : côté vertical = hauteur, côté horizontal = rayon, hypoténuse = bord du cône (génératrice). — Visualise le triangle rectangle caché à l'intérieur du cône.

Si on agrandit ou réduit un solide, ses dimensions changent. Pour trouver le nouveau volume, calcule d'abord les nouvelles dimensions (rayon et hauteur) en les multipliant par le coefficient d'échelle, puis applique la formule du volume.

Attention aux conversions ! Rappelle-toi que 1 litre est égal à

1 dm^{3}

. Pour passer des

cm^{3}

aux litres, il faut souvent convertir en

dm^{3}

en divisant par 1000.

À retenir :

Volume = \frac{Base \times Hauteur}{3}

. Et vérifie toujours tes unités !

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