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Cours gratuit

Résolution d'équations du premier degré

L'objectif est de trouver la valeur de l'inconnue dans des équations simples du type ax + b = c ou ax + b = cx + d. L'élève doit isoler l'inconnue par étapes successives.

Duree estimee : 20 min

Comprendre le principe de l'équilibre

Imagine une balance à plateaux parfaitement équilibrée. Sur le plateau de gauche, il y a des boîtes mystères et des poids connus. Sur le plateau de droite, il y a d'autres poids pour équilibrer le tout. Ton but est de trouver la masse d'une seule boîte mystère.

Dessin vectoriel simple et plat sur fond blanc d'une balance à deux plateaux à l'équilibre. Sur le plateau de gauche : 2 boîtes rouges identiques marquées 'x' et 3 poids gris marqués '1'. Sur le plateau de droite : 9 poids gris marqués '1'. L'aiguille centrale est parfaitement verticale.
Visualisons cette balance pour bien comprendre le concept d'égalité.

En mathématiques, cette situation s'écrit avec une égalité appelée équation. La boîte mystère est l'inconnue, souvent notée . Le signe égal () est le centre de la balance : il indique que le contenu de gauche a la même valeur que le contenu de droite.

Résoudre une équation, c'est trouver la valeur de qui rend l'égalité vraie.

Vérifier si un nombre est solution

Avant de calculer la solution, apprenons à la vérifier. Si on te demande si est solution, tu dois remplacer la lettre par 4 dans l'équation et calculer pour voir si l'égalité est respectée.

Prenons l'équation . Testons avec 4. Je calcule le côté gauche : . Cela fait , donc 7. Comme je trouve bien le résultat du côté droit, 4 est bien la solution.
Attention, signifie . Si tu remplaces par 4, écris bien et non 34 ! Le signe de multiplication est souvent caché devant une lettre.

La méthode pour isoler l'inconnue

Règle d'or : tu peux ajouter, soustraire, multiplier ou diviser par un même nombre (non nul) des deux côtés de l'égalité. C'est comme sur la balance : si tu enlèves un poids à gauche, tu dois enlever le même à droite pour garder l'équilibre.

Résolvons . Le but est d'isoler . Étape 1 : on supprime le terme constant () en faisant l'opération inverse. On soustrait 2 de chaque côté.

Il reste . Étape 2 : on supprime le coefficient qui multiplie (le 4). Pour cela, on divise par 4 de chaque côté. 12 divisé par 4 donne 3. La solution est .

En résumé : on élimine d'abord les additions/soustractions, puis on élimine les multiplications/divisions.

Quand il y a des $x$ des deux côtés

Parfois, l'inconnue est partout, comme dans . La stratégie est de regrouper les termes en du même côté (souvent à gauche) et les nombres constants de l'autre.

Schéma explicatif sur fond blanc. Au centre, le signe égal. À gauche, un panier bleu étiqueté 'Famille des x' contenant les étiquettes '5x' et '-2x'. À droite, un panier vert étiqueté 'Famille des nombres' contenant les étiquettes '15' et '-3'.
On trie les familles : la famille des d'un côté, la famille des nombres de l'autre.
Pour : je veux supprimer le de droite. Je soustrais des deux côtés. Il reste . Ensuite, je soustrais 3 des deux côtés. Il reste . Je divise par 3 et je trouve .
Ne déplace pas les termes par magie ! Rappelle-toi que pour "bouger" un terme positif comme , tu dois en réalité faire l'opération inverse () des deux côtés.

Résoudre un vrai problème

Léo achète 3 bandes dessinées identiques et un magazine à 5 euros. Il paie 41 euros au total. Quel est le prix d'une BD ? Utilisons une équation pour trouver la réponse.

Étape 1 : On définit l'inconnue. Soit le prix d'une BD. Étape 2 : On traduit l'énoncé. '3 BD + 5 euros = 41 euros' s'écrit mathématiquement .

On résout l'équation. On fait des deux côtés : . Puis on divise par 3 : .
N'oublie pas d'écrire la phrase réponse à la fin : Une bande dessinée coûte 12 euros.

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