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Puissances de 10 et écriture scientifique

Ce topic couvre l'utilisation des puissances de 10 d'exposants positifs ou négatifs. L'élève doit savoir passer de l'écriture décimale à l'écriture scientifique et inversement.

Duree estimee : 20 min

Les grands nombres : exposants positifs

Imagine que tu dois écrire la distance Terre-Soleil : environ 150 000 000 000 mètres. C'est long et on risque d'oublier un zéro ! En mathématiques et en sciences, on utilise les puissances de 10 pour simplifier l'écriture des très grands nombres.

Règle : 10 exposant

n

(noté

1 0^{n}

) est égal au nombre 1 suivi de

n

zéros.

Par exemple, 10 puissance 3 (

1 0^{3}

) s'écrit 1000 car il y a 3 zéros. De même, 10 puissance 6 (

1 0^{6}

) s'écrit 1 000 000 (un million).

Tableau simple à deux colonnes sur fond blanc. Colonne de gauche titre 'Écriture puissance', colonne de droite 'Écriture décimale'. Ligne 1 : '10^2' et '100'. Ligne 2 : '10^3' et '1000'. Ligne 3 : '10^6' et '1 000 000'. Les zéros sont coloriés en rouge pour bien les compter. — Regarde bien le lien entre l'exposant et le nombre de zéros.

Tu croises souvent ces puissances dans la vie quotidienne (informatique, distance). $1 0^{3}$ correspond au préfixe kilo (mille). $1 0^{6}$ correspond à méga (million). $1 0^{9}$ correspond à giga (milliard).

Les infiniment petits : exposants négatifs

Comment écrire la taille d'un atome ? On utilise des nombres à virgule très petits, comme 0,0000001. Pour simplifier, on utilise les puissances de 10 avec un exposant négatif.

Un exposant négatif indique l'inverse du nombre. 10 puissance $- n$ est égal à 1 divisé par 10 puissance $n$ . En écriture décimale, c'est $0, 00...01$ où le chiffre 1 est placé à la $n$ -ième position après la virgule.

Astuce : pour écrire 10 puissance

- n

, le nombre total de zéros est égal à

n

, en comptant celui qui est placé avant la virgule (0, ...).

Exemple : 10 puissance -3 (

1 0^{- 3}

) est égal à

0, 001

. On voit bien 3 zéros au total. C'est un millième. Les préfixes utiles sont : milli (

1 0^{- 3}

), micro (

1 0^{- 6}

) et nano (

1 0^{- 9}

Attention ! Un exposant négatif ne rend pas le nombre négatif.

1 0^{- 2}

vaut

0, 01

. C'est un petit nombre, mais il reste positif (plus grand que zéro).

Calculer avec les puissances de 10

Pour multiplier deux puissances de 10, on additionne les exposants. Par exemple : $1 0^{2} \times 1 0^{3} = 1 0^{5}$ (car $2 + 3 = 5$ ).

Pour diviser deux puissances de 10, on soustrait les exposants (celui du haut moins celui du bas). Par exemple : $1 0^{7} \div 1 0^{4} = 1 0^{3}$ (car $7 - 4 = 3$ ).

Enfin, pour une puissance de puissance (avec des parenthèses), on multiplie les exposants entre eux. Par exemple : $(1 0^{3})^{2} = 1 0^{6}$ (car $3 \times 2 = 6$ ).

Image type fiche de révision sur fond ardoise verte. Trois lignes écrites à la craie blanche bien lisible. Ligne 1 : '10^n × 10^m = 10^(n+m)'. Ligne 2 : '10^n / 10^m = 10^(n-m)'. Ligne 3 : '(10^n)^m = 10^(n×m)'. — Voici le résumé visuel des trois règles de calcul à connaître par cœur.

Ne confonds pas ! On additionne les exposants uniquement quand on MULTIPLIE les puissances (

1 0^{2} \times 1 0^{3}

). Si c'est une addition (

1 0^{2} + 1 0^{3}

), tu dois calculer la valeur décimale de chaque nombre (

100 + 1000 = 1100

L'écriture scientifique

Les scientifiques utilisent une norme universelle pour comparer rapidement les nombres, qu'ils soient géants ou minuscules : l'écriture scientifique.

Définition : L'écriture scientifique est de la forme '

a \times 1 0^{n}

'. Le nombre '

a

' doit être compris entre 1 et 10 (exclu), c'est-à-dire qu'il a un seul chiffre avant la virgule et ce n'est pas 0.

Pour écrire 4500 : je place la virgule après le premier chiffre (4) pour obtenir 4,5. Comme 4500 est grand, l'exposant est positif. J'ai décalé la virgule de 3 rangs. Résultat :

4, 5 \times 1 0^{3}

Pour écrire 0,0072 : je place la virgule après le premier chiffre non nul (7) pour obtenir 7,2. Comme 0,0072 est petit (inférieur à 1), l'exposant est négatif. La virgule s'est déplacée de 3 rangs. Résultat :

7, 2 \times 1 0^{- 3}

Attention au piège :

12 \times 1 0^{4}

n'est PAS une écriture scientifique car 12 est plus grand que 10. Il faut toujours un seul chiffre avant la virgule (

1, 2 \times 1 0^{5}

À retenir : un seul chiffre avant la virgule (différent de 0), multiplié par la bonne puissance de 10.

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