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Multiplication et division de nombres relatifs

L'élève doit appliquer la règle des signes pour effectuer des produits et des quotients de nombres relatifs. Il doit également savoir déterminer le signe d'une suite de multiplications.

Duree estimee : 20 min

Comprendre la logique des signes

Bonjour ! Tu sais déjà faire $3 \times 4$ . Mais que se passe-t-il si on fait $3 \times (- 4)$ ? Ou même $(- 3) \times (- 4)$ ? Aujourd'hui, nous allons apprendre à multiplier et diviser avec des nombres positifs et négatifs.

Imagine une suite logique. Si tu fais $3 \times 2$ , cela fait 6. Si tu fais $3 \times 1$ , cela fait 3. Si tu fais $3 \times 0$ , cela fait 0. À chaque étape, le résultat diminue de 3. Donc, logiquement, $3 \times (- 1)$ doit continuer à descendre et faire $- 3$ .

Schéma simple sur fond blanc. Une liste verticale de calculs : '-3 x 2 = -6', '-3 x 1 = -3', '-3 x 0 = 0', '-3 x -1 = 3', '-3 x -2 = 6'. Une flèche verte pointe vers le bas à côté des résultats indiquant que les nombres augmentent de +3 à chaque ligne. — Observe cette suite de calculs. Quand on multiplie un nombre négatif par un nombre de plus en plus petit, le résultat, lui, devient de plus en plus grand !

L'idée clé : multiplier par un nombre négatif inverse le sens habituel des opérations.

La règle des signes pour la multiplication

Voici la règle d'or pour multiplier deux nombres relatifs. Premier cas : si les deux nombres ont le MÊME signe (tous les deux positifs OU tous les deux négatifs), le résultat est toujours POSITIF.

Exemple classique :

4 \times 5 = 20

. Exemple avec des relatifs :

(- 4) \times (- 5) = 20

aussi ! On retient souvent : « moins par moins donne plus ».

Deuxième cas : si les deux nombres ont des signes CONTRAIRES (l'un est positif, l'autre est négatif), le résultat est toujours NÉGATIF.

Par exemple :

(- 3) \times 4 = - 12

. Ou bien :

3 \times (- 4) = - 12

. Si les signes sont différents, le produit est forcément négatif.

Tableau 2x2 coloré et épuré. Case 1 : '+ par + donne +'. Case 2 : '- par - donne +'. Case 3 : '+ par - donne -'. Case 4 : '- par + donne -'. — Voici un tableau récapitulatif à mémoriser.

Attention à ne pas confondre avec l'addition !

(- 2) + (- 5)

fait

- 7

(j'ajoute deux dettes), alors que

(- 2) \times (- 5)

fait

+ 10

(règle des signes).

La règle des signes pour la division

Bonne nouvelle : pour la division, c'est exactement la même règle que pour la multiplication ! Il n'y a rien de nouveau à apprendre par cœur.

Même signe = résultat positif. Signes contraires = résultat négatif.

(- 20) \div (- 5)

donne 4 (signes identiques). Mais

(- 20) \div 5

donne

- 4

(signes contraires).

Dans une fraction, peu importe où est le signe moins (en haut, en bas ou devant), le résultat est le même.

\frac{- 1}{2}

est égal à

\frac{1}{- 2}

, qui est égal à

- 0, 5

Produit de plusieurs facteurs

Comment faire si on multiplie plein de nombres à la suite, comme $(- 2) \times (- 3) \times (- 2)$ ? L'astuce est de compter le nombre de facteurs négatifs.

Les signes moins s'annulent par paires. Si le nombre de facteurs négatifs est PAIR, le résultat est positif. S'il est IMPAIR, le résultat est négatif.

Prenons

(- 1) \times (- 1) \times (- 1)

. Il y a 3 nombres négatifs (impair), donc le résultat est

- 1

. Avec 4 nombres négatifs (pair), le résultat serait

+ 1

Dessin schématique. À gauche, trois signes moins rouges alignés, avec une accolade sous les deux premiers indiquant qu'ils deviennent un plus (+). À droite, quatre signes moins rouges alignés, regroupés par deux, montrant qu'ils se transforment tous en plus. — Retiens que deux signes moins se croisent pour former un plus.

Respecter les priorités

Dans une expression complexe, les règles de priorité ne changent pas. La multiplication et la division doivent être effectuées AVANT l'addition et la soustraction.

Calculons :

7 - 3 \times (- 4)

. La multiplication est prioritaire ! On fait d'abord

3 \times (- 4) = - 12

. Le calcul devient alors

7 - (- 12)

Pour finir, on se rappelle la règle de la soustraction : soustraire, c'est ajouter l'opposé. Donc $7 - (- 12)$ devient $7 + 12$ , ce qui fait 19.

L'erreur classique est de calculer '

7 - 3

' au début. Ne tombe pas dans le panneau ! Repère toujours les multiplications et divisions en premier.

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