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Division de fractions et notion d'inverse

Comprendre la notion d'inverse d'un nombre non nul. Savoir diviser deux nombres en écriture fractionnaire en multipliant par l'inverse.

Duree estimee : 20 min

Comprendre l'inverse d'un nombre

Imagine une carte à jouer avec un nombre en haut et un nombre en bas. Prendre l'inverse, c'est retourner la carte : le bas passe en haut et le haut passe en bas.

Schéma simple sur fond blanc. À gauche, une fraction écrite en grand 3 sur 4. Une flèche courbée va vers la droite. À droite, la fraction est inversée : 4 sur 3. Les chiffres sont noirs et bien lisibles. — Regarde comment on inverse une fraction : le numérateur et le dénominateur échangent leurs places.

Deux nombres relatifs sont inverses si leur produit est égal à $1$ . Par exemple, l'inverse de la fraction $\frac{a}{b}$ est $\frac{b}{a}$ . Attention : le nombre $0$ n'a pas d'inverse.

L'inverse de

\frac{2}{3}

est

\frac{3}{2}

. L'inverse de

7

(c'est-à-dire

\frac{7}{1}

) est

\frac{1}{7}

. L'inverse de

- 5

est

- \frac{1}{5}

Ne confonds pas l'inverse et l'opposé ! L'opposé change le signe (l'opposé de

5

est

- 5

), alors que l'inverse garde le signe mais permute le numérateur et le dénominateur.

La règle d'or de la division

Diviser par une fraction peut sembler difficile. Heureusement, il existe une règle simple pour transformer cette division en une multiplication que tu sais déjà faire.

À retenir : Diviser par un nombre relatif (non nul) revient à multiplier par son inverse.

Pour diviser $A$ par $B$ : garde le premier nombre $A$ intact, remplace le signe divisé par multiplié, et remplace le deuxième nombre $B$ par son inverse.

Schéma en trois étapes horizontales sur fond blanc. Étape 1 : 'A ÷ B'. Étape 2 : une flèche de transformation. Étape 3 : 'A × (Inverse de B)'. Le signe division est rouge, le signe multiplication est vert. — Voici la transformation visuelle de l'opération.

Pratiquer la division de fractions

Calculons

\frac{2}{3}

divisé par

\frac{5}{7}

. On garde

\frac{2}{3}

. On change la division en multiplication. On inverse

\frac{5}{7}

pour obtenir

\frac{7}{5}

. Le calcul devient :

\frac{2}{3} \times \frac{7}{5}

Maintenant, tu multiplies les numérateurs entre eux ( $2 \times 7 = 14$ ) et les dénominateurs entre eux ( $3 \times 5 = 15$ ). Le résultat est $\frac{14}{15}$ .

Ne touche jamais à la première fraction ! C'est toujours la deuxième fraction (celle après le signe divisé) qu'il faut inverser.

Dans une suite de calculs, la division a la même priorité que la multiplication. Elle passe avant l'addition et la soustraction.

Un problème concret

Imagine une carafe contenant $\frac{3}{4}$ de litre de jus d'orange. Tu veux servir des verres qui contiennent chacun $\frac{1}{8}$ de litre. Combien de verres peux-tu remplir ?

Dessin simple style vectoriel. Une carafe remplie aux trois quarts de liquide orange. À côté, un petit verre vide avec une petite marque indiquant un huitième de la contenance totale. — Visualisons la quantité de jus à répartir.

On cherche combien de fois

\frac{1}{8}

rentre dans

\frac{3}{4}

. On pose la division :

\frac{3}{4} \div \frac{1}{8}

. Cela revient à calculer

\frac{3}{4} \times \frac{8}{1}

Le calcul donne $\frac{3 \times 8}{4 \times 1}$ , soit $\frac{24}{4}$ . En simplifiant, on trouve $6$ . Tu peux donc servir exactement 6 verres !

Pour diviser, transforme l'opération en multiplication par l'inverse, puis calcule en respectant les signes et les priorités.

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