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Cours gratuit

Nombres premiers et décomposition

L'élève doit être capable de décomposer un nombre entier en un produit de facteurs premiers. Il doit aussi connaître la liste des premiers nombres premiers.

Duree estimee : 20 min

Qu'est-ce qu'un nombre premier ?

Imagine que les nombres entiers sont des constructions en LEGO. Certaines briques sont "insécables" : on ne peut pas les casser en morceaux plus petits. En mathématiques, ces briques de base s'appellent les nombres premiers.

Dessin vectoriel simple sur fond blanc. A gauche, le nombre '12' construit avec un assemblage de briques rouges. A droite, le nombre '7' formé d'une seule brique bleue solide et incassable. Style éducatif.
Illustration de l'analogie : le nombre 12 est un assemblage, le 7 est une brique unique.
Un nombre entier est premier s'il possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.
Le nombre 5 est premier : on ne peut le diviser que par 1 et 5. Par contre, 6 n'est pas premier : il est divisible par 1, 2, 3 et 6.
Attention au piège : le nombre 1 n'est PAS premier. Il n'a qu'un seul diviseur (lui-même), alors qu'il en faut exactement deux pour être premier.
Mémorise les premiers nombres premiers, ça sert tout le temps : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.

Décomposer un nombre en facteurs premiers

Tout nombre entier (supérieur à 1) peut s'écrire comme une multiplication de nombres premiers. C'est sa "recette secrète" unique.

Pour trouver ces facteurs, on divise le nombre successivement par les nombres premiers dans l'ordre croissant (2, 3, 5...) jusqu'à obtenir un quotient égal à 1.

Décomposons 60. On teste 2 : (ça marche). On continue avec 30 : . Avec 15, on ne peut plus diviser par 2, on tente 3 : . Enfin, 5 est premier : . C'est fini.
Schéma mathématique sur fond blanc montrant la décomposition de 60. Une barre verticale. Colonne gauche (haut en bas) : 60, 30, 15, 5, 1. Colonne droite (diviseurs) : 2, 2, 3, 5. Résultat '60 = 2 x 2 x 3 x 5' en évidence.
Voici la présentation classique avec la barre verticale.
Le résultat est le produit des diviseurs : . Avec les puissances, on écrit plus vite : .
Ne t'arrête pas sur des nombres non premiers ! Écrire est incomplet, car 6 et 10 peuvent encore être cassés ( et ).

Applications : Fractions et problèmes

La décomposition sert surtout à rendre une fraction irréductible (simplifiée au maximum) et à résoudre des problèmes de partage équitable.

Simplifions 42 sur 30. On remplace par les décompositions : et . On barre les facteurs communs (le 2 et le 3) en haut et en bas.
Fraction mathématique noire sur fond blanc. Numérateur : '2 x 3 x 7'. Dénominateur : '2 x 3 x 5'. Les '2' et '3' sont barrés en rouge. À droite du signe égal, reste la fraction '7 sur 5'.
On visualise bien les nombres qui disparaissent.
Même principe pour un problème : si tu as 42 chocolats et 30 bonbons à répartir équitablement, les facteurs communs (2 et 3) t'indiquent que tu peux faire 6 paquets identiques (car ).
Bilan : Décomposer un nombre, c'est trouver ses briques de base pour simplifier les calculs et les fractions.

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