Cours gratuit

Le cosinus d'un angle aigu

Identifier le côté adjacent et l'hypoténuse dans un triangle rectangle pour écrire la formule du cosinus. Calculer la valeur du cosinus ou la longueur d'un côté à partir de cette relation.

Duree estimee : 20 min

Bien repérer les côtés

Avant de calculer quoi que ce soit, observons un triangle rectangle. Tu connais déjà l'hypoténuse : c'est le plus grand côté, celui qui est en face de l'angle droit.

Pour un angle aigu donné, il y a deux côtés qui le touchent. L'un est l'hypoténuse. L'autre côté, qui relie l'angle droit à l'angle choisi, s'appelle le côté adjacent.

Triangle rectangle ABC, rectangle en C. L'angle A est marqué par un arc de cercle rouge. Le côté AB est légendé 'Hypoténuse'. Le côté AC est légendé 'Côté Adjacent'. Fond blanc, traits noirs nets. — Regarde ce schéma pour bien situer le côté adjacent par rapport à l'angle marqué.

Attention, le côté adjacent change si tu changes d'angle ! Dans un triangle

A B C

rectangle en

C

, le côté adjacent à l'angle

A

est

A C

, mais le côté adjacent à l'angle

B

est

B C

Pour utiliser le cosinus, identifie toujours l'hypoténuse et le côté adjacent à l'angle qui t'intéresse.

La formule du cosinus

Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu est égal à la longueur du côté adjacent divisée par la longueur de l'hypoténuse.

Si ton triangle $A B C$ est rectangle en $B$ et que tu regardes l'angle $A$ , l'hypoténuse est $A C$ et le côté adjacent est $A B$ . La formule s'écrit donc : $cos (A) = \frac{A B}{A C}$ .

Pour t'en souvenir, utilise le moyen mnémotechnique "CAH". C pour Cosinus, A pour Adjacent, H pour Hypoténuse.

Comme l'hypoténuse est le plus grand côté, le résultat de la division (adjacent sur hypoténuse) doit toujours être inférieur à 1.

Calculer une longueur

Si tu connais la mesure d'un angle et la longueur d'un côté, tu peux trouver la longueur manquante. C'est comme une équation simple à trous.

Soit un triangle

I J K

rectangle en

K

. L'angle

I

mesure 60 degrés et l'hypoténuse

I J

mesure 10 cm. On cherche le côté adjacent

I K

. On pose l'égalité :

cos (60) = \frac{I K}{10}

Pour isoler $I K$ , on multiplie $10$ par $cos (60)$ . Cela donne : $I K = 10 \times 0, 5$ . Donc $I K$ mesure 5 cm.

Illustration en cours de conception

Voici comment taper ce calcul sur une calculatrice de collège.

Calculer un angle

Si on connaît les longueurs du côté adjacent et de l'hypoténuse, on peut retrouver la mesure de l'angle. On utilise la touche inverse du cosinus sur la calculatrice.

Cette fonction se note souvent

arccos

cos^{- 1}

. Pour l'utiliser, appuie d'abord sur la touche "Seconde" ou "Shift" avant d'appuyer sur "cos".

Dans un triangle

R S T

rectangle en

S

, si

R T = 8

cm (hypoténuse) et

S T = 4

cm (adjacent à

T

), on a :

cos (T) = \frac{4}{8} = 0, 5

. En tapant

arccos (0, 5)

, la calculatrice affiche 60 degrés.

Vérifie absolument que ta calculatrice est en mode Degrés (un petit "D" ou "deg" sur l'écran). Si elle est sur un autre mode, tes résultats seront faux !

Entraînement officiel

Prêt à relever le Défi 5?

Mets tes nouvelles connaissances à l'épreuve : survis aux 10 questions du chapitre avec 5 vies et 20 secondes par manche !

LANCER LE DÉFI 5