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Le théorème de Pythagore : calculer une longueur

À partir d'un énoncé textuel décrivant un triangle rectangle, l'élève doit calculer la longueur de l'hypoténuse ou d'un côté de l'angle droit en utilisant l'égalité de Pythagore.

Duree estimee : 20 min

L'intuition : le chemin le plus court

Imagine que tu es sur un terrain de foot. Tu veux aller d'un poteau de corner au coin opposé. Tu as deux choix : longer les lignes de touche ou couper directement en diagonale à travers le terrain.

Schéma simple vue de dessus : un terrain de foot vert rectangulaire. Une flèche rouge continue coupe le terrain en diagonale du coin bas-gauche au coin haut-droit. Deux flèches bleues en pointillés longent le bord bas puis le bord droit pour rejoindre les mêmes points. — Observons cette situation. Le chemin en diagonale forme le troisième côté d'un triangle rectangle.

Tu sais intuitivement que la diagonale est plus courte que le tour complet. Mais comment calculer sa longueur exacte ? C'est là que le théorème de Pythagore devient ton meilleur allié.

Ce théorème sert à calculer la longueur d'un côté manquant dans un triangle rectangle, quand on connaît les deux autres.

La règle du jeu : l'égalité de Pythagore

Avant tout calcul, repère le côté le plus long du triangle rectangle. Ce côté s'appelle l'hypoténuse. Il est toujours situé juste en face de l'angle droit.

Dessin géométrique d'un triangle rectangle ABC, rectangle en A. L'angle droit en A est marqué par un petit carré rouge. Le côté BC, opposé à l'angle droit, est tracé en trait vert épais avec l'étiquette Hypoténuse. — Voici comment repérer l'hypoténuse sans se tromper.

Le théorème dit : Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

Si ton triangle $A B C$ est rectangle en $A$ , l'hypoténuse est le côté $B C$ . L'égalité s'écrit alors : $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}$ . C'est une égalité entre des carrés.

Attention, l'hypoténuse (le plus grand côté) doit toujours être toute seule d'un côté du signe égal.

Cas 1 : Calculer l'hypoténuse

C'est le cas le plus classique. Tu connais les deux côtés de l'angle droit et tu cherches la longueur du grand côté (l'hypoténuse).

Dans un triangle

M E R

rectangle en

E

, on a

M E = 6

cm et

E R = 8

cm. On cherche

M R

. D'après le théorème de Pythagore :

M R^{2} = M E^{2} + E R^{2}

. On remplace :

M R^{2} = 6^{2} + 8^{2}

On calcule les carrés : $6^{2}$ vaut 36 et $8^{2}$ vaut 64. On additionne : $36 + 64 = 100$ . Donc $M R^{2} = 100$ . Pour finir, on utilise la racine carrée : $M R = 10$ cm.

Vérifie toujours ton résultat : l'hypoténuse trouvée doit être plus grande que les deux autres côtés. Ici, 10 est bien plus grand que 6 et 8.

Cas 2 : Calculer un côté de l'angle droit

Parfois, tu connais l'hypoténuse et un autre côté, et tu cherches le côté manquant. La méthode change un peu : on fera une soustraction à la fin.

Dessin de profil : un mur vertical gris à gauche, le sol horizontal marron en bas. Une échelle beige est posée en diagonale contre le mur. On forme un triangle rectangle. L'échelle mesure 5m, le pied de l'échelle est à 3m du mur. On cherche la hauteur du mur. — Prenons l'exemple d'une échelle posée contre un mur.

L'échelle fait 5 m (c'est l'hypoténuse) et le pied est à 3 m du mur. On appelle

h

la hauteur. On écrit l'égalité :

5^{2} = 3^{2} + h^{2}

. Pour trouver

h

, on doit isoler l'inconnue.

On effectue une soustraction : $h^{2} = 5^{2} - 3^{2}$ . Ce qui donne $25 - 9 = 16$ . La racine carrée de 16 est 4. Le sommet de l'échelle touche donc le mur à 4 mètres de haut.

Ne confonds pas ! Si tu cherches l'hypoténuse, tu additionnes. Si tu cherches un petit côté, tu soustrais le carré du côté connu au carré de l'hypoténuse.

Valeurs exactes et arrondis

Souvent, le résultat de la racine carrée ne tombe pas juste (ce n'est pas un nombre entier). Par exemple, si tu trouves $A B^{2} = 20$ , la calculatrice affiche une infinité de chiffres.

La valeur exacte s'écrit sous la forme

20

. Pour la valeur approchée, lis bien la consigne (arrondir au dixième, au centième...) avant de recopier le résultat de la calculatrice.

À retenir : 1. Repère l'hypoténuse. 2. Écris l'égalité des carrés. 3. Remplace et calcule. 4. Finis avec la racine carrée.

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