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Variable Aléatoire : Loi, Espérance et Variance

Calculer l'espérance mathématique E(X), la variance V(X) et l'écart-type d'une variable aléatoire discrète. L'élève doit manipuler les sommes pondérées issues d'une loi de probabilité donnée sous forme textuelle.

Duree estimee : 20 min

Variable aléatoire et loi de probabilité

Imagine un jeu de dé. Si tu fais un 6, tu gagnes 10 euros. Sinon, tu perds 2 euros. En probabilités, on s'intéresse ici au gain (10 ou -2) plutôt qu'au résultat du dé (1, 2, 3...). C'est le principe d'une variable aléatoire.

Une variable aléatoire, notée

X

, est une fonction qui associe un nombre réel (le gain, la taille, etc.) à chaque issue d'une expérience aléatoire.

Schéma simple sur fond blanc. À gauche un ensemble ovale nommé Oméga contenant des dés colorés. À droite une ligne droite numérique horizontale nommée R. Des flèches partent des dés vers deux points précis sur la ligne : le point -2 et le point 10. — On visualise le passage de l'univers (les dés) vers les valeurs numériques (les euros).

L'événement ${X = 10}$ se lit ' $X$ prend la valeur $10$ '. Ici, cela correspond à faire un $6$ . Donc la probabilité $P (X = 10)$ vaut $\frac{1}{6}$ .

On utilise aussi des inégalités. Par exemple, ${X \leq 0}$ signifie 'le gain est inférieur ou égal à $0$ '. Pour calculer $P (X \leq 0)$ , on additionne les probabilités de toutes les valeurs qui vérifient cette condition.

La "loi de probabilité" est le tableau résumé. Première ligne : les valeurs possibles ( $x_{i}$ ). Deuxième ligne : les probabilités ( $p_{i}$ ). La somme des probabilités doit toujours être égale à $1$ .

Dans notre jeu : Valeurs possibles =

- 2

10

. Probabilité de perdre (

X = - 2

) =

\frac{5}{6}

. Probabilité de gagner (

X = 10

) =

\frac{1}{6}

. Vérification :

\frac{5}{6} + \frac{1}{6} = 1

L'Espérance : la moyenne théorique

Si tu joues une fois, tu as $+ 10$ ou $- 2$ . Mais si tu joues des milliers de fois, quel est ton gain moyen ? C'est l'Espérance, notée $E (X)$ .

Formule :

E (X) = p_{1} \times x_{1} + p_{2} \times x_{2} + ... + p_{n} \times x_{n}

. C'est la somme des valeurs pondérées par leurs probabilités.

Calculons pour notre jeu :

E (X) = (- 2) \times (\frac{5}{6}) + (10) \times (\frac{1}{6})

. Cela donne

- \frac{10}{6} + \frac{10}{6} = 0

. L'espérance est de

0

euro.

Interprétation : Si

E (X) = 0

, le jeu est "équitable". Si

E (X) > 0

, il est favorable au joueur. Si

E (X) < 0

, tu perds de l'argent en moyenne sur le long terme.

Ne fais pas la moyenne simple

\frac{- 2 + 10}{2} = 4

! C'est faux car les probabilités ne sont pas les mêmes. Tu dois obligatoirement utiliser la formule pondérée.

Variance et Écart-type : mesurer la dispersion

Deux jeux peuvent avoir la même moyenne mais des risques différents (gagner toujours 0€ vs gagner -1000€ ou +1000€). Pour mesurer cet écart au risque, on utilise la variance et l'écart-type.

Schéma minimaliste. Une ligne horizontale représentant un axe gradué. Au centre, un drapeau marqué 'Espérance'. Autour de ce drapeau, des points sont plus ou moins éloignés pour montrer la dispersion. — L'écart-type mesure à quel point les valeurs sont dispersées (éloignées) autour de la moyenne.

La Variance $V (X)$ est la moyenne des carrés des écarts à l'espérance. Concrètement : on prend chaque valeur, on lui soustrait l'espérance, on met le tout au carré, on multiplie par la probabilité, et on additionne.

L'écart-type, noté

σ

(sigma), est la racine carrée de la variance :

σ (X) = V (X)

. Il s'exprime dans la même unité que les valeurs (ex: en euros).

En résumé : L'Espérance

E (X)

est la valeur moyenne espérée. L'écart-type

σ (X)

mesure la dispersion ou le risque autour de cette moyenne.

Une variance est une somme de carrés, elle est donc TOUJOURS positive. Si tu trouves un résultat négatif, refais tes calculs !

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