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Trigonométrie : Angles associés et simplifications

Simplifier des expressions trigonométriques en utilisant les propriétés des angles associés (x+pi, pi-x, pi/2-x, etc.) et la périodicité. L'élève doit connaître les relations entre sinus et cosinus pour réduire les expressions.

Duree estimee : 20 min

Périodicité et Parité : les bases

Imagine un coureur sur une piste circulaire. S'il fait un tour complet, il revient exactement au point de départ. En trigonométrie, c'est pareil : ajouter $2 π$ radians (un tour complet) à l'angle ne change pas sa position sur le cercle.

Périodicité : Pour tout réel

x

et tout entier

k

cos (x + 2 k π) = cos (x)

sin (x + 2 k π) = sin (x)

Calculons

cos (\frac{13 π}{6})

. On remarque que

\frac{13 π}{6} = \frac{12 π}{6} + \frac{π}{6} = 2 π + \frac{π}{6}

. Comme

2 π

correspond à un tour complet, on l'ignore. Le résultat est

cos (\frac{π}{6})

Schéma simple d'un cercle trigonométrique. Un angle x est marqué dans le premier cadran (haut droite) avec un point rouge. Un angle -x est marqué dans le quatrième cadran (bas droite) avec un point bleu. Un trait vertical en pointillés relie le point rouge au point bleu. — Regardons la symétrie par rapport à l'axe horizontal (abscisses). L'angle $- x$ est l'image de $x$ par cette symétrie (effet miroir vers le bas).

C'est la parité. Le cosinus (axe horizontal) reste le même pour $x$ et $- x$ . Le sinus (axe vertical) change de signe.

Parité :

cos (- x) = cos (x)

(fonction paire) et

sin (- x) = - sin (x)

(fonction impaire).

Angles associés : Symétries et quarts de tour

On utilise les symétries géométriques pour ramener des angles complexes vers le premier cadran, où l'on connaît les valeurs remarquables.

Angle

π - x

sin (π - x) = sin (x)

(même hauteur) et

cos (π - x) = - cos (x)

(opposé).

Pour l'angle $π + x$ , on fait un demi-tour complet par rapport à $x$ . On est symétrique par rapport au centre. Tout change de signe : $sin (π + x) = - sin (x)$ et $cos (π + x) = - cos (x)$ .

Pour les quarts de tour (type $\frac{π}{2} + x$ ), on échange les rôles. Le cosinus devient sinus et inversement. Attention : il faut vérifier le signe sur le cercle !

Angle

\frac{π}{2} + x

cos (\frac{π}{2} + x) = - sin (x)

sin (\frac{π}{2} + x) = cos (x)

Ne tente pas d'apprendre ces formules par cœur sans comprendre ! Fais toujours un petit croquis du cercle au brouillon pour voir dans quel cadran tu tombes et quel est le signe du cosinus (abscisse) et du sinus (ordonnée).

La relation fondamentale

Il existe une relation essentielle qui lie le cosinus et le sinus d'un même angle. C'est en réalité le théorème de Pythagore appliqué dans le cercle trigonométrique de rayon 1.

Pour tout nombre réel

x

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

Si on sait que

cos (x) = 0, 8

et que

x

est positif, on peut trouver

sin (x)

. On calcule

0, 8^{2} + sin^{2} (x) = 1

, soit

0, 64 + sin^{2} (x) = 1

. Donc

sin^{2} (x) = 0, 36

. Ici,

sin (x)

vaut

0, 6

- 0, 6

Méthode : Calculer une valeur exacte

Voyons comment calculer la valeur exacte de $cos (\frac{5 π}{6})$ étape par étape.

Étape 1 : Décomposer l'angle.

\frac{5 π}{6}

est proche de

\frac{6 π}{6}

(qui vaut

π

). On écrit :

\frac{5 π}{6} = π - \frac{π}{6}

Étape 2 : Utiliser la formule d'angle associé. On cherche

cos (π - \frac{π}{6})

. Or on sait que

cos (π - x) = - cos (x)

Étape 3 : Conclure avec la valeur remarquable.

cos (\frac{π}{6})

vaut

\frac{3}{2}

. Donc

cos (\frac{5 π}{6}) = - \frac{3}{2}

En résumé : décompose l'angle en fonction de

π

\frac{π}{2}

, utilise le cercle pour le signe, et applique

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

si besoin.

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