Second degré : Inéquations et signe du trinôme

Imagine un dauphin qui saute hors de l'eau. Sa trajectoire forme une courbe en U renversé (une parabole). Le niveau de l'eau représente l'axe horizontal des abscisses.

Quand le dauphin est dans l'air, son altitude est positive : le trinôme est supérieur à 0. Quand il est sous l'eau, son altitude est négative. Les instants où il traverse la surface correspondent aux racines.

Pour déterminer le signe de $a{x}^2+bx+c$ par le calcul, on regarde le discriminant $\Delta$ et le coefficient $a$ (le nombre devant $x^2$).

Si $\Delta >0$, il y a deux racines. À gauche de la première et à droite de la seconde (l'extérieur), le trinôme prend le signe de $a$. Entre les deux racines, il prend le signe contraire de $a$.

Si $\Delta <0$, il n'y a pas de racine : le trinôme ne s'annule jamais et garde le signe de $a$ tout le temps. Si $\Delta =0$, il y a une seule racine : le trinôme est nul à cet endroit et du signe de $a$ partout ailleurs.

Résolvons ensemble l'inéquation : $-x^2+4x-3\ge 0$. L'objectif est de trouver les valeurs de $x$ pour lesquelles ce trinôme est positif ou nul.

Étape 3 : On conclut. On cherche quand le trinôme est positif ($\ge 0$). D'après l'étape précédente, c'est entre 1 et 3. L'ensemble solution est $S=[1;3]$.