Cours gratuit

Maîtriser l'exponentielle : Propriétés et calculs

Simplification d'expressions utilisant les règles de calcul sur l'exponentielle (produit, quotient, puissance). Résolution d'équations simples faisant intervenir la notation e^x.

Duree estimee : 20 min

Découverte de la fonction exponentielle

Imagine une population de bactéries qui grandit d'autant plus vite qu'elle est nombreuse. Plus il y a de bactéries, plus la vitesse de reproduction augmente. En mathématiques, on cherche une fonction dont la vitesse d'évolution (la dérivée) est égale à sa valeur actuelle.

C'est la définition officielle à connaître : il existe une unique fonction $f$ , dérivable sur $R$ , telle que $f^{'} = f$ et $f (0) = 1$ . On appelle cette fonction la fonction exponentielle.

Graphique simple 2D sur fond blanc. Axes X et Y noirs. Une courbe rouge représentant la fonction exponentielle qui passe par le point (0, 1) et monte rapidement vers la droite. La courbe reste toujours au-dessus de l'axe des abscisses. — Voici l'allure de la courbe représentative. Elle passe par le point $(0; 1)$ , est strictement positive et monte de plus en plus vite (croissance exponentielle).

On note cette fonction

exp (x)

ou plus couramment

e^{x}

. Le nombre '

e

' est une constante irrationnelle environ égale à 2,718.

Les règles de calcul algébriques

L'exponentielle

e^{x}

fonctionne exactement comme les puissances classiques (comme

1 0^{n}

). Si tu connais tes règles sur les puissances, tu sais déjà manipuler l'exponentielle !

Règle du produit : pour multiplier deux exponentielles, on additionne leurs exposants. La formule est $e^{a} \times e^{b} = e^{a + b}$ .

Exemple :

e^{2} \times e^{3} = e^{2 + 3} = e^{5}

. De même,

e^{x} \times e^{- x} = e^{0}

, ce qui donne 1.

Règle du quotient : on soustrait les exposants, donc $\frac{e ^{a}}{e ^{b}} = e^{a - b}$ . Règle de la puissance : $(e^{a})^{n} = e^{an}$ (on multiplie les exposants).

Attention !

e^{a} + e^{b}

ne se simplifie pas en

e^{a + b}

. Il n'y a pas de formule magique pour l'addition. Laisse l'expression telle quelle.

Simplifier des expressions

Pour simplifier une expression, applique les règles de priorité opératoire. Traite d'abord les puissances, puis les produits et quotients.

Simplifions

A = \frac{e ^{2 x} \times e ^{3}}{e ^{x}}

. D'abord le numérateur : on additionne les exposants (

2 x + 3

). Puis la division : on soustrait l'exposant du bas (

x

). Résultat :

e^{2 x + 3 - x} = e^{x + 3}

Pense aux identités remarquables. Par exemple

(e^{x} + 1)^{2}

se développe en

(e^{x})^{2} + 2 e^{x} + 1

. Note bien que

(e^{x})^{2}

devient

e^{2 x}

Résoudre équations et inéquations

À retenir absolument : pour tout réel

x

e^{x}

est strictement positif (

e^{x} > 0

). L'exponentielle ne s'annule jamais et n'est jamais négative.

Si tu dois résoudre

e^{x} = - 5

e^{x} = 0

, conclus immédiatement qu'il n'y a pas de solution réelle. C'est impossible.

La fonction exponentielle est strictement croissante. Conséquence : $e^{A} = e^{B}$ équivaut à $A = B$ . De même pour les inéquations, on conserve l'ordre : $e^{A} < e^{B}$ équivaut à $A < B$ .

Résolvons

e^{2 x + 1} = e^{5}

. On égalise les exposants :

2 x + 1 = 5

, donc

2 x = 4

, soit

x = 2

. C'est la même logique pour

e^{x} < e^{3}

qui donne

x < 3

Un dernier lien : la suite

u (n) = e^{na}

est une suite géométrique de raison

q = e^{a}

. Cela sert à modéliser des évolutions continues.

Entraînement officiel

Prêt à relever le Défi 5?

Mets tes nouvelles connaissances à l'épreuve : survis aux 10 questions du chapitre avec 5 vies et 20 secondes par manche !

LANCER LE DÉFI 5