Probabilités conditionnelles et indépendance

Imagine que tu tires une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. On te dit que la carte tirée est une figure (Valet, Dame ou Roi). Quelle est alors la probabilité que ce soit un Cœur ? Ici, ton univers n'est plus les 32 cartes, mais seulement les 12 figures. C'est le principe de la probabilité conditionnelle : on réduit l'univers des possibles à une information connue.

Mathématiquement, on note $P_A(B)$ la probabilité de l'événement $B$ sachant que l'événement $A$ est réalisé. La formule de définition est : $P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$. Pour utiliser cette formule, il faut impérativement que $P(A)$ ne soit pas nulle.

L'outil clé pour visualiser ces situations est l'arbre pondéré. Le premier niveau de branches porte les probabilités simples (comme $P(A)$). Le deuxième niveau porte obligatoirement des probabilités conditionnelles (comme $P_A(B)$). C'est une convention universelle.

Souvent, on cherche la probabilité totale d'un événement $B$ qui apparaît au bout de plusieurs chemins (via $A$ ou via non $A$). On utilise la formule des probabilités totales : on additionne les probabilités de tous les chemins qui finissent par $B$. $P(B)=P(A\cap B)+P(\text{non }A\cap B)$.

Deux événements sont indépendants si la réalisation de l'un n'influence pas la probabilité de l'autre. C'est le cas lors de la succession de deux épreuves sans lien, comme lancer une pièce puis un dé. Le résultat de la pièce ne change pas les chances du dé.

On peut aussi dire que $A$ et $B$ sont indépendants si $P_A(B)=P(B)$. Cela traduit bien l'idée que le fait de savoir $A$ n'a rien changé à la probabilité de $B$.