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Géométrie : Vecteur normal et équation de droite

Exploiter le lien entre le vecteur normal de coordonnées (a; b) et l'équation cartésienne de droite ax + by + c = 0 pour déterminer une équation ou un vecteur.

Duree estimee : 20 min

Qu'est-ce qu'un vecteur normal ?

Schéma géométrique 2D simple sur fond blanc. Une ligne droite bleue traverse l'image horizontalement. Une flèche rouge (vecteur) part d'un point de la droite et pointe vers le haut perpendiculairement, formant un angle droit marqué par un petit carré. — Regarde ce schéma. La droite bleue représente le sol et la flèche rouge représente un poteau planté bien droit.

Imagine un mât de bateau ou un poteau planté verticalement dans le sol. Il fait un angle de 90 degrés avec le sol. En géométrie analytique, c'est exactement le rôle du vecteur normal par rapport à une droite.

Un vecteur normal à une droite $D$ est un vecteur non nul qui est orthogonal à cette droite. Cela signifie qu'il est perpendiculaire à n'importe quel vecteur directeur de la droite.

Retiens ceci : Si une droite a pour équation

a x + b y + c = 0

, alors le vecteur

n (a; b)

est un vecteur normal.

Prenons la droite d'équation

2 x - 5 y + 3 = 0

. Le nombre

a

vaut

2

et le nombre

b

vaut

- 5

. Un vecteur normal à cette droite est donc

n (2; - 5)

Trouver une équation de droite

Voici une application essentielle. Supposons que tu connaisses un point $A (1; 2)$ par lequel passe la droite, et un vecteur normal $n (3; 4)$ . Comment retrouver l'équation complète ?

Puisque

n (3; 4)

est normal, tu sais immédiatement que

a = 3

b = 4

. L'équation commence forcément par

3 x + 4 y

On écrit le début de l'équation :

3 x + 4 y + c = 0

. Pour trouver

c

, on utilise le fait que le point

A (1; 2)

appartient à la droite. On remplace donc

x

par

1

y

par

2

dans l'équation.

Le calcul devient : 3 fois 1 plus 4 fois 2 plus $c$ égal $0$ . Cela fait $3 + 8 + c = 0$ , soit $11 + c = 0$ . On trouve $c = - 11$ . L'équation cartésienne est donc $3 x + 4 y - 11 = 0$ .

Ne pas confondre directeur et normal

Ne confonds pas les deux vecteurs ! Dans l'équation

a x + b y + c = 0

, le vecteur

n (a; b)

est normal et coupe la droite. Le vecteur

u (- b; a)

est directeur et longe la droite.

Schéma mathématique sur fond quadrillé blanc. Une droite noire traverse l'image. Un vecteur vert longe la droite (parallèle). Un vecteur rouge coupe la droite à angle droit. Le vecteur vert est étiqueté 'Directeur (-b;a)', le vecteur rouge est étiqueté 'Normal (a;b)'. — Voici un schéma pour visualiser la différence : le vecteur directeur est parallèle à la droite, le normal est perpendiculaire.

Pour vérifier, fais le produit scalaire entre ton vecteur normal et ton vecteur directeur. Si le résultat

a

fois

- b

plus

b

fois

a

est égal à

0

, c'est gagné.

Droites perpendiculaires et projection

Une propriété très utile des vecteurs normaux est de prouver l'orthogonalité sans faire de dessin. Il suffit de comparer les vecteurs normaux des deux droites.

Deux droites sont perpendiculaires si et seulement si le produit scalaire de leurs vecteurs normaux est nul.

Enfin, pour trouver le projeté orthogonal $H$ d'un point $M$ sur une droite $D$ , on cherche en réalité le point d'intersection entre la droite $D$ et la perpendiculaire passant par $M$ .

La méthode consiste à déterminer l'équation de cette perpendiculaire (guidée par le vecteur normal de

D

) puis à résoudre le système formé par les deux équations de droites.

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